Proporcionalidad directa

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Tabla de contenidos

1 Características generales
2 Teorema de Tales
3 Aplicaciones del teorema de Tales
4 Algunos problemas de proporcionalidad directa

Características generales

Consideramos que una variable $x$ puede adquirir los valores [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y otra variable y los valores [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] $x$ e $y$ son directamente proporcionales si [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Teorema de Tales

Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón $BB'$ .

En nuestra figura vemos que la altura $h = VV'$ es la incógnita de esta igualdad: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], luego

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Aplicaciones del teorema de Tales

Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la tercera proporcional de dos segmentos dados, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.

División de un segmento en partes proporcionales

Para dividir un segmento AD en partes proporcionales a las partes A’B’, B’C’ y C’D’ dadas, trazamos una recta que pase por A definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo D’ trazamos la recta DD’ . Trazamos paralelas a DD’ por los puntos B’ y C’ . Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos B y C. Por el teorema de Tales, se cumplirá que AB/A’B’=BC/B’C’=CD/C’D’.

División de un segmento en partes iguales.

Para dividir un segmento AB dado en n partes iguales, trazamos una recta que pase por A. Situamos sobre ella n partes iguales, que numeramos. En este caso n=9. Dibujamos la recta 9B y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.

Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre AB son iguales.

Demostración del teorema de la bisectriz

La bisectriz del ángulo BAC de un triángulo ABC divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo. Consideramos el triángulo ABC y su bisectriz AD. Según el teorema: BD/DC=AB/AC.

Vamos a comprobarlo:

Trazamos por C una paralela a AD, que corta a la prolongación de AB en E.

Por el teorema de Tales, se cumple que: BD/DC=AB/AE.

Los ángulos BAD=AEC por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y DAC=ACE por ser alternos internos.

Como BAD=DAC tenemos que AEC=ACE, lo que indica que el triángulo ACE es isósceles con base EC, luego AC=AE.

Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que BD/DC=AB/AC.

El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior MAC.

Cuarta proporcional de tres segmentos

Dados tres segmentos a, b y c, se llama magnitud cuarta proporcional de ellos a un segmento d que verifica: a/b=c/d.

Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y c y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.

Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de c. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: a/b=c/d

Tercera proporcional de dos segmentos

Dados dos segmentos a y b, se llama magnitud tercera proporcional de ellos a un segmento c que verifica: a/b=b/c.

Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.

Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y b y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.

Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de b. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: a/b=b/c

La proporción áurea

Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:

$a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}$

$\Phi = 1,...........= \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}$ es el número de oro.

Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de rectángulo de oro. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de $\Phi$ en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.

También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:

$\frac{d}{l} = \Phi$

Vamos a comprobar que

$a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1+ \sqrt{5})}{2}$

Operamos:

$(a+b) \cdot b = a^2$

$ab + b2 = a^2$

$a^2 â�� ab â�� b^2 = 0$

Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:

$a = \frac{b + \sqrt{(b^2 + 4b^2)} }{2} = b \frac{ (1 + \sqrt{5})}{2}$

$\frac{a}{b} = \Phi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}$

Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:

Cuando el dato es a

Dibujamos un cuadrado de lado a y la mediatriz de dicho lado. Con centro en N, punto medio de a, y radio NM, diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en P a la prolongación de a, definiendo el segmento b. Se cumple que $\frac{a}{b} = \Phi$

Vamos a comprobarlo:

Como $MN = NP$ , pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:

Consideramos el triángulo MNQ, por Pitágoras:

$MN = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = {\frac{a\sqrt{5}}{2}$

En nuestro dibujo:

$NP = \frac{a}{2} +b$

Lo aplicamos en la igualdad anterior:

$\frac{a}{2} + b = \frac{a \sqrt {5}}{2}$

$b = \frac{a \sqrt{5}}{2} - \frac{a}{2} = a \frac{\sqrt {5} -1}{2}$

luego:

$a = \frac{2b}{\sqrt {5} -1}$

$\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt {5} -1} = \frac{2 (\sqrt {5} +1)}{(\sqrt {5} +1) (\sqrt {5} - 1)} = \frac{2 (1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2} = \Phi$

Cuando el dato es a+b

Ésta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea MN= a+b. Trazamos un segmento perpendicular de magnitud MN/2 y dibujamos el triángulo rectángulo MNP. Con centro en P y radio PN trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto Q. Con centro en A trazamos un arco de radio AQ que corta a MN en el punto R, definiendo los segmentos a y b.

Se verifica que: $\frac{a}{b} = \Phi$

Vamos a comprobarlo:

$MP = a + \frac{a+b}{2}$ , ya que

$MQ =a$ y $PQ = \frac{a+b}{2}$

Considerando el triángulo MNP, por Pitágoras:

$MP^2 = (a+b)^2 + \left (\frac{a+b}{2} \right )^2 = \frac{5 (a+b)^2} {4}$ , luego:

$MP = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}$

$MP = a + \frac{a+b}{2} = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}$

$a = (a+b) \frac{\sqrt{5} -1}{2}$

$\frac{(a+b)}{a} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2 (\sqrt{5}+1) }{ (\sqrt{5}+1) (\sqrt{5}-1)} = \frac{2(1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}= \Phi$

Los rectángulos de oro

Si el dato es el lado menor a usamos la primera construcción de segmentación áurea.

Si el dato es el lado mayor, a+b, utilizamos la segunda.

El teorema de Euclides

Ya vimos el teorema de Euclides, considerando su enunciados como teoremas de la altura y del cateto, en el capítulo de triángulos y realizamos sus demostraciones gráficas.

Ahora vamos a ver su relación con la tercera proporcional. Si consideramos que:

$\frac{a}{x}=\frac{x}{b}$

vemos que el término intermedio, x, es media proporcional entre a y b, pues:

$x^2 = ab$

Las construcciones de la media proporcional de dos segmentos, basadas directamente en Euclides, tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas gráficos.

Aplicando el teorema de la altura

Dibujamos el segmento BC= a+b, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. Por el extremo común de los segmentos, H, dibujamos la perpendicular a BC que corta al arco en A. AH es la altura de ABC y es media proporcional de los segmentos en que divide a la hipotenusa: a y b, como ya vimos en el capítulo 2.

$AH = \sqrt{ab}$

Aplicando el teorema del cateto

Dibujamos el segmento BC=b y BH=a, superpuestos, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC desde H corta al arco en A.

El cateto AB es media proporcional su proyección sobre la hipotenusa, a , y de la hipotenusa, b, como ya vimos en el capítulo 2.

$AB = \sqrt{ab}$

Aplicaciones al cálculo gráfico

Para resolver estos problemas debemos definir la unidad que consideramos.

División de dos segmentos: c=a/b

Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=a/b, siendo la unidad el centímetro.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=b y MP=1cm (segmento unidad), como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

$NQ=c$

Vemos que se cumple:

$c=\frac{a}{b}$ pues:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{1}$

Producto de dos segmentos: c=ab

Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=ab, siendo la unidad el centímetro.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=b, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

$NQ=c$

Vemos que se cumple:

$c=ab$

pues:

$\frac{a}{1}=\frac{c}{b}$

Cuadrado de un segmento: b=a²

Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla $b=a^2$ , siendo la unidad el centímetro.

Esta construcción una variante de la del producto de un segmento.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=a, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

$NQ=b$

Vemos que se cumple:

$b=a^2$ ,pues:

$\frac{a}{1} = \frac{b}{a}$

Raíz cuadrada de un segmento: b=√a

Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla $b= \sqrt{a}$ , siendo la unidad el centímetro

Aplicamos el teorema de la altura:

Dibujamos el segmento BC, siendo BH = 1cm (segmento unidad) y HC=a.

Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC por H corta al arco en A.

$AH =b = \sqrt{a}$

pues b es media proporcional de a y de la unidad.

Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura.

En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y el segmento BC=a.

Dibujamos la circunferencia de diámetro BC. Trazamos la perpendicular a BC desde H. Esta recta corta a la circunferencia en A.

La magnitud solución es $AB = \sqrt{a}$

Cuadrado de un segmento, aplicando Euclides

Aplicamos el teorema de la altura:

Dibujamos el segmento BH = 1cm (segmento unidad) y prolongamos la recta que lo contiene.

Trazamos la perpendicular a BH por H y llevamos la magnitud a sobre ella:

$AH = a$

Dibujamos el arco de circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta definida por BH. Su centro estará en la intersección de la mediatriz de AB con dicha recta. El arco corta a la recta en C.

$HC= b = a^2$ , pues $AH=a$ es media proporcional de $b=a^2$ y de la unidad.

Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura. En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y se prolonga la recta que lo contiene. Se dibuja la perpendicular a dicha recta desde H y, con centro en B y radio a se traza el arco que la corta en A.

Dibujamos la circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta BH: trazamos la mediatriz de AB que corta a dicha recta en su centro.

BC es la magnitud solución: $BC=a^2$

Razón simple y razón doble de puntos alineados

En primer lugar definimos el concepto de segmentos orientados. Son positivos los segmentos cuya nomenclatura indica un sentido, siguiendo el orden alfabético y son negativos cuando indica el sentido contrario.

Por ejemplo: si AB es positivo, BA será negativo.

La razón simple y la razón doble operan con segmentos orientados.

Razón simple

Se llama razón simple de tres puntos alineados A, B y C y se nota (ABC) a la siguiente igualdad: (ABC) = AB/AC, siendo AB y AC segmentos orientados.

Para construir una razón simple aplicamos lo aprendido en proporcionalidad directa:

Ejemplo de razón positiva: Dado un segmento AB, hallar el punto C que cumpla: (ABC) = 3.

Dibujamos el segmento AB y trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = 3 (unidades arbitrarias) y un punto Y tal que AY = 1 (la unidad considerada).

Se cumple que:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AX}{AY} = \frac{3}{1}$ , luego $(ABC) = 3$

Ejemplo de razón negativa: Dado un segmento AB, hallar el punto C que cumpla:

$(ABC) = - \frac{p}{q}$ , siendo p y q segmentos dados.

Dibujamos el segmento AB y trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = p y un punto Y tal que AY =q, teniendo en cuenta que AX y AY deben indicar sentidos contrarios para que la razón sea negativa.

Se cumple que:

$\frac{AB}{AC} = - \frac{AX}{AY} = -\frac{p}{q}$ , luego

$(ABC) = - \frac{p}{q}$

Razón doble

Se llama razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D y se nota (ABCD) a la siguiente igualdad:

$(ABCD) = \frac{(ACD)}{(BCD)} = \left (\frac{AC}{AD} \right ) : \left (\frac{BC}{BD} \right ) =$

$\left (\frac{AC}{AD} \right ) \cdot \left (\frac{BD}{BC} \right ) = \left (\frac{AC}{BC} \right ) \cdot \left (\frac{BD}{AD} \right )$

siendo $AC, AD, BC$ y $BD$ segmentos orientados.

Para construir una razón doble aplicamos lo aprendido en proporcionalidad directa:

Ejemplo de razón positiva:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla: (ABCD) =p/q, siendo p y q segmentos dados.

Para resolver gráficamente estos problemas debemos combinar haces de rectas con los vértices en C y en D como se ve a continuación.

Trazamos por B una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que BX = p y un punto Y tal que BY = q.

Dibujamos la recta CY y trazamos una paralela a BY por A. Estas rectas se cortan en Z.

AZ = n

Se cumple que:

$\frac{q}{n} = \frac{BC}{AC}$

Por otra parte, la recta ZX corta a la recta dato en D.

Se cumple que:

$\frac{p}{n} = \frac{BD}{AD}$ , luego:

$(ABCD) = \frac{p}{q} = \left (\frac{BD}{AD} \right ) : \left ( \frac{BC}{AC} \right ) = \left ( \frac{AC}{BC} \right ) \cdot \left ( \frac{BD}{AD} \right )$

Ejemplo de razón negativa:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla:

$(ABCD) = - \frac{p}{q}$ , siendo $p$ y $q$ segmentos dados.

Trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = p y un punto Y tal que AY = q, teniendo en cuenta que los sentidos de AX y AY sean contrarios.

Dibujamos la recta CX y trazamos una paralela a AX por B. Estas rectas se cortan en Z. BZ = n.

Se cumple que: $\frac{p}{n} = \frac{AC}{BC}$

Por otra parte, la recta ZY corta a la recta dato en D.

Se cumple que: $\frac{q}{n} = \frac{AD}{-BD}$ , luego:

$(ABCD) =-\frac{p}{q} = \left ( \frac{AC}{BC}\right ) : \left ( \frac{AD}{BD}\right ) = \left ( \frac{AC}{BC} \right ) \cdot \left ( \frac{BD}{AD} \right )$

Cuaterna armónica

Se llama cuaterna armónica a la razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D que vale -1:

(ABCD) = -1

Ejemplo de cuaterna armónica:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla:

ABCD) = -1

Trazamos por A una recta. Sobre ella situamos dos puntos X e Y, tal que AX = AY, teniendo en cuenta que los sentidos de AX y AY sean contrarios.

Dibujamos la recta CX y trazamos una paralela a AX por B. Estas rectas se cortan en Z.

BZ = n

Se cumple que:

$\frac{AX}{n} = \frac{AC}{BC}$

Por otra parte, la recta ZY corta a la recta dato en D.

Se cumple que:

$\frac{AY}{n} = \frac{AX}{n} = \frac{AD}{-BD}$ , luego:

$\frac{-AX}{n} = \frac{AD}{BD}$

$(ABCD) = \frac{AX}{-AX}= -1$

Escalas

Se llama escala a la razón entre una magnitud dibujada y su magnitud real.

E = magnitud de un segmento dibujado/ magnitud real del segmento.

Si nos dicen que el segmento AB, que mide 3 cm, representa una distancia de 300 Km y nos preguntan a qué escala está representado, aplicamos la definición: Escala = 3cm/ 300Km

A continuación igualamos las unidades:

$Escala = \frac{3cm}{300Km} = \frac{3cm}{30000000cm} = \frac{1}{10.000.000}$

Cuando una escala representa a los objetos reduciendo su tamaño se llama escala de reducción, cuando lo amplía, se llama escala de ampliación, cuando representa un objeto a tamaño real se llama escala real.

Se llaman escalas gráficas o escalas volantes a las reglas que nos permiten medir en las diferentes escalas.

Construcción de una escala gráfica de ampliación:

Si nos indican que el segmento AB representa 3mm, al dividirlo en 3 partes iguales tendremos el segmento que representa 1mm.

Con este segmento como unidad construimos nuestra escala.

A continuación construimos la contraescala dividiendo una unidad en 10 partes iguales. Así podremos medir décimas de milímetro.

Construcción de una escala gráfica de ampliación:

Si nos indican que el segmento AB representa 5Km, al dividirlo en 5 partes iguales tendremos el segmento que representa 1Km.

Con este segmento como unidad construimos nuestra escala.

A continuación construimos la contraescala dividiendo una unidad en 10 partes iguales. Así podremos medir hectómetros.

Construcción de una escala universal:

Es una construcción que nos permite dibujar muchas escalas.

Se construye un triángulo rectángulo isósceles ABC. Se divide cada uno de sus catetos en diez partes iguales. Se numeran los puntos obtenidos.

Se trazan rectas desde el vértice A, pasando por los puntos situados en BC.

Las paralelas a BC, trazadas desde los puntos obtenidos en AC, se intersecan con las rectas del haz formando distintas escalas gráficas, como puede verse en la figura.

Semejanza

Ya hemos visto que dos formas semejantes tienen los lados directamente proporcionales y los ángulos correspondientes iguales.

En la imagen vemos dos trapezoides semejantes. Si los situamos de modo que sus lados coincidan o sean paralelos entre sí podremos comprobar fácilmente dicha proporcionalidad directa:

$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{AD}{A'D'}$