Ecuaciones de la recta en el espacio

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Ecuacion en forma vectorial
3 Ecuación en forma paramétrica
4 Ecuación en forma continua
5 Ecuación en forma cartesiana o implícita
6 Ejemplo

Introducción

Al igual que ocurre en el plano, una recta en el espacio queda determinada conociendo un punto $P$ y un vector no nulo $\vec {\mathbf{v}}$ que se llama vector director o direccional de la recta.

Estudiamos a continuacion las diferentes formas que puede adoptar la ecuacion de una recta.

Ecuacion en forma vectorial

La recta que pasa por el punto $P_0 = \left( <pre>\, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> \right)$ y tiene por vector director $\vec {\mathbf{v}} = \left( <pre>\, v_x, \, v_y, \, v_z \, </pre> \right)$ es el conjunto de puntos $P$ del espacio que verifican la relacion vectorial $\stackrel{\longrightarrow}{P_0P} = \lambda \vec {\mathbf{v}}$ con $\lambda \in R$

Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica que:

$\stackrel{\longrightarrow}{OP} \, \, = \, \, \stackrel{\longrightarrow}{OP_0} + \stackrel{\longrightarrow}{P_0P}$

Si identificamos el punto $P$ con el vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto $P,$ $\stackrel{\longrightarrow}{OP}$ , se tiene que $P = P_0 + \lambda \cdot \vec{\mathbf{v}}$

que se denomina ecuación vectorial de la recta.

Ecuación en forma paramétrica

Desarrollando la ecuación vectorial anterior expresada en coordenadas, tenemos lo siguiente:

$</pre> \left( <pre> \, x, \, y, \, z \, \right) \, = \, \left( \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, \right) \, + \, \left( \, \lambda v_x, \, \lambda v_y, \, \lambda v_z \, \right) \, = \, \left( \, x_0 \, + \, \lambda v_x, \, y_0 \, + \, \lambda v_y, \, z_0 \, + \, \lambda v_z \, \right)$

Igualando componentes resulta:

$r: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & x_0 \, + \, \lambda v_x \\ y & = & y_0 \, + \, \lambda v_y \\ z & = & z_0 \, + \, \lambda v_z \end{array} </pre> \right.$

Expresión que se denomina ecuación de la recta en forma paramétrica o ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuación en forma continua

Si, en las ecuaciones paramétricas, $v_x$ , $v_y$ y $v_z$ son distintos de cero, se puede despejar en cada una de ellas el parametro $\lambda$

$\lambda \, = \, \frac{x \, - \, x_0}{v_x}; \qquad \lambda \, = \, \frac{y \, - \, <pre> y_0}{v_y}; \qquad \lambda \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z} </pre> $

Igualando las expresiones obtenidas resulta:

$r: \, \frac{x \, - \, x_0}{v_x} \, = \, \frac{y \, - \, y_0}{v_y} \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z}$

que es la ecuación de la recta en forma continua.

Ecuación en forma cartesiana o implícita

A partir de la ecuación forma continua de la recta podemos obtener las dos ecuaciones siguientes:

$\frac{x \, - \, x_0}{v_x} \, = \, \frac{y \, - \, y_0}{v_y}$

$\frac{y \, - \, y_0}{v_y} \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z}$

que se pueden reescribir de la forma:

$r: \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{c} a \cdot x \, + \, b \cdot y \, + \, c \cdot z \, + \, d \, = \, 0 \\ a^\prime \cdot x \, + \, b^\prime \cdot y \, + \, c^\prime \cdot z \, + \, d^\prime \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$

y que se conocen con el nombre de ecuación implícita o cartesiana de la recta.

Ejemplo

Determinemos las ecuaciones de la recta $r$ que pasa por los puntos:

$P \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right) \qquad \mathbf{y} \qquad Q \, = \, \left( <pre> \, -1, \, -2, \, -3 \, </pre> \right)$

Un vector director de $r$ es, por ejemplo, el vector que va desde el punto $P$ hasta el punto $Q$

$ <pre>\stackrel{\longrightarrow}{PQ} \, = \, Q \, - \, P \, = \, </pre> \left( <pre> \, -1, \, -2, \, -3 \, </pre> \right) \, - \, \left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right) <pre>\, = \, \left( \, -2, \, -4, \, -6 \, \right) </pre> $

Por lo tanto, la ecuacion de la recta $r$ en forma vectorial es:

$\left( <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> \right) \, = \, P \, + \, \lambda \stackrel{\longrightarrow}{PQ} \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right) \, + \, \lambda \left( <pre> \, -2, \, -4, \, -6 \, </pre> \right)$

En forma paramétrica es:

$r: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & 1 \, - \, 2 \lambda \\ y & = & 2 \, - \, 4 \lambda \\ z & = & 3 \, - \, 6 \lambda \end{array} </pre> \right.$