Periodicidad

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Propiedades
- 2.1 Propiedad 1
- 2.2 Propiedad 2
3 Ejemplo
4 Ejemplo
5 Ejercicio
6 Solución

Definición

Se dice que una función $\mathrm{f}$ es periódica, de periodo $T$ , con $T > 0$ , si y solo si verifica las siguientes dos condiciones:

1. $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, T \, \right)$ para todo número real $x$ , y

2. $T$ es el menor número positivo que cumple la anterior condición.

Propiedades

Propiedad 1

Para determinar completamente una función periódica de periodo $T$ es suficiente con especificar

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, a + T \, \right)$

y para cualquier $a \in \mathbb{R}$ .

El simbolo $\forall$ significa ``para todo`` y $\left[ </p> <pre> \, a, \, a + T \, </pre> <p>\right)$ representa el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $a$ y menores que $a + T$ .

Propiedad 2

Si $\mathrm{f}$ es una función periódica de periodo $T$ , entonces $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, n \cdot T \, \right)$ para todo número real $x$ y cualquier número entero $n$ .

Si definimos una función $\mathrm{g}$ , a partir de otra función $\mathrm{f}$ , mediante la igualdad $\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \mathrm{f} \left( \, x - a \, \right)$ , donde $a$ es un número real cualquiera, entonces decimos que se ha obtenido $\mathrm{g}$ trasladando $\mathrm{f}$ horizontalmente.

Si $a$ es positiva, la grafica de $\mathrm{g}$ coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de $\mathrm{f}$ $a$ unidades a la derecha.

Si $a$ es negativa, la grafica de $\mathrm{g}$ coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de $\mathrm{f}$ una distancia $-a$ a la izquierda.

Un función periódica de periodo $T$ es invariante bajo aquellas traslaciones horizontales cuyo desplazamiento, $a$ , es un número entero por el periodo ( $a = n \cdot T$ con $n \in \mathbb{Z}$ ).

Ejemplo

Tipicas funciones periódicas son las funciones trigonometricas: el coseno, el seno y la tangente.

Son funciones periódicas

$\left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} f \left( \, x \, \right) = a \cdot cos ( b \cdot x + c ) \\ g \left( \, x \, \right) = a \cdot sen ( b \cdot x + c ) \\ h \left( \, x \, \right) = a \cdot tan ( b \cdot x + c ) \end{array} </pre> <p>\right.$

donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales cualesquiera y $b \neq 0$ .

El periodo de todas estas funciones es $\frac{2 \cdot \pi}{b}$ .

Ejemplo

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 1'2 \cdot \cos \left( \, 5x \, \right)$

En este ejemplo, el periodo es $T = \frac{2 \pi}{5}$

Ejercicio

Sea $\mathrm{f}$ una función periódica de periodo 5, tal que

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x, \, \forall x \in \left[ \, 0, \, 5 \, \right)$

Calculese $\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right)$

Solución

El ejercicio se resuelve buscando un número entero $n$ tal que

$13 + n \cdot T = 13 + 5n$

se encuentre en el intervalo $\left[ \, 0, \, 5 \, \right)$ .

Para encontrar $n$ dividimos 13 entre 5. La división nos da 2, de cociente, y 3, de resto. Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que

$13 = 2 \cdot 5 + 3$

y por lo tanto

$3 = 13 + \left( \, -2 \, \right) \cdot 5$

que se encuentra en el intervalo $\left[ \, 0, \, 5 \, \right)$ .

Por la propiedad 2, $\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right)$ . Como, por otra parte, $\mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) = 3$ , se tiene que