Límite de una función
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Nota sobre terminología
Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:
es mas pequeño ( grande ) que si y solo si .
Es decir, es mas pequeño ( grande ) que si es menor ( mayor ) que .
La distancia entre dos puntos y de la recta real es . Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos y .
Por ejemplo, esta mas cerca de que el ya que
Limite de f(x) cuando x tiende a un número real
Limite finito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a , si ambos límites laterales existen y son iguales a , es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente proximo a , por la derecha o por la izquierda.
Limite infinito
El límite de la función , cuando tiende a por la izquierda existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la izquierda .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Analogamente, el límite de la función , cuando tiende a por la derecha existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la derecha .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Ejemplo
Demostremos que
Para ello seleccionamos un cualquiera e intentamos encontrar un de manera que
Si no es positivo, entonces cualquier verifica
Si es positivo, entonces
Por lo tanto, si elegimos
se verifica que
Limite menos infinito
El límite de la función , cuando tiende a por la izquierda existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la izquierda .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Analogamente, el límite de la función , cuando tiende a por la derecha existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la derecha .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Cuando alguno de los limites laterales de cuando tiende a es infinito o menos infinito, la grafica de tiene una asintota vertical de ecuación .
Limite de f(x) cuando x tiende a infinito
Limite finito
Se dice que el límite de la funcion , cuando tiende a , es si cualquier sucesión que tiende a verifica que .
Lo expresamos como:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente grande.
Es decir
Limite infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente grande.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite menos infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito
Limite finito
Se dice que el límite de la funcion , cuando tiende a , es si cualquier sucesión que tiende a verifica que .
Lo expresamos como:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Limite infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite menos infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera: