Puntos y rectas notables de los triángulos

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Tabla de contenidos

1 Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Suma de vectores

En un triángulo $ABC$ , cuyo circuncentro es $C$ y su ortocentro es $O \$ , se verifica que el vector $CO$ es igual a la suma de los vectores $CA \ + \ CC \ + \ CB$ .

Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach

El triángulo $HaHbHc$ que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo $ABC$ se llama triángulo órtico.

Las bisectrices del triángulo órtico de $ABC$ están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.

La circunferencia circunscrita al órtico de $ABC$ se llama circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de $ABC, \ M, \ N$ y $P$ y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de $ABC, \ X, \ Y$ y $Z$ .

Sea $HaHbHc$ es el triángulo órtico de un triángulo desconocido $ABC$ . Al hallar $ABC$ vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada órtico y cada circunferencia de Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.

Dibujamos las bisectrices de $ABC$ , que coinciden con las alturas de $ABC$ . Trazamos por $Ha, Hb$ y $Hc$ perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, $ABC$ . Esta es la primera solución. Señalamos el ortocentro $O \$ y la circunferencia de Feuerbach.

Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de $ABC$ , como $ABD$ , cuyo ortocentro coincide con el vértice $C$ . Las otras soluciones serían $ACD$ , con ortocentro en $B$ y $BCD$ , con ortocentro en $A$ .

Recta de Simson

Sea un triángulo $ABC$ y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de $ABC$ desde un punto arbitrario $P$ de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos $P$ con el ortocentro de $ABC$ el punto medio $M$ del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de $ABC$ .

Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo $ABC$ se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, $X$ .

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: $BC = BO/2$ .

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de $CO$ , segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo $ABC$ . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo $ABC$ .

Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices $A, B \ y \ C$ .

El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a $ABC$ .

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Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo $ABC$ es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de $ABC$ ”.

Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.