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Puntos y rectas notables de los triángulos
De Wikillerato
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Tabla de contenidos |
Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos
Recta de Simson
Sea un triángulo 
y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de desde un punto arbitrario 
de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.
Si unimos con el ortocentro de el punto medio 
del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de .
Recta de Euler
La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, 
.
La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: 
.
El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de 
, segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.
Propiedad de las mediatrices y las bisectrices
Sea un triángulo . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.
Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo
Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo .
Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.
Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices 
.
El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a .
Teorema de Feuerbach
El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de ”.
Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.
