Navegación
Cálculo del rango de una matriz por menores
De Wikillerato
Definición de menor de una matriz
Se llama menor de orden k de una matriz
al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
filas y a k columnas de la matriz
.
En este determinante los elementos de
conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz
.
Es decir, si la fila de
en la que se encuentra
esta por encima de la fila de
en la que se encuentra
,
entonces, en los menores de
en los que aparezcan
y
,
la fila en la que se encuentra
va a estar por encima de la fila en la que se encuentra
.
Analogamente, si la columna de
en la que se encuentra
esta a la derecha de la columna de
en la que se encuentra
,
entonces, en los menores de
en los que aparezcan
y
,
la columna en la que se encuentra
va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra
.
Teorema
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.
Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k, si los hubiese, son nulos. O dicho de otra manera:
Si todos los menores de orden k y de orden mayor que k de una matriz son nulos, entonces el rango de dicha matriz tiene que ser menor que k.
Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite
calcular el rango de una matriz
independientemente de como sea la matriz
.
Procedimiento para calcular el rango de una matriz usando menores
Sea
el orden de los menores de mayor orden de la matriz
.
es el número de filas o el número de columnas de
,
el que sea menor.
Empezando por
y continuando con
,
para cada valor de
se va comprobando si algún menor de orden
es cero.
Considerando distintos valores de
en este orden, el primer valor de
que encontramos con un menor NO nulo
es el rango de
.
Si no encontrasemos ningún
satisfaciendo esta condición, entonces NO existiría ningún menor de
distinto de cero y el rango de
seria cero.
