Cálculo del rango de una matriz por menores

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Tabla de contenidos

1 Definición de menor de una matriz
2 Teorema
3 Procedimiento para calcular el rango de una matriz usando menores
- 3.1 Ejemplo

Definición de menor de una matriz

Se llama menor de orden k de una matriz $\mathbf{A}$ al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz $\mathbf{A}$ .

En este determinante los elementos de $\mathbf{A}$ conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz $\mathbf{A}$ .

Es decir, si la fila de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $a$ esta por encima de la fila de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $b$ , entonces, en los menores de $\mathbf{A}$ en los que aparezcan $a$ y $b$ , la fila en la que se encuentra $a$ va a estar por encima de la fila en la que se encuentra $b$ .

Analogamente, si la columna de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $a$ esta a la derecha de la columna de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $b$ , entonces, en los menores de $\mathbf{A}$ en los que aparezcan $a$ y $b$ , la columna en la que se encuentra $a$ va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra $b$ .

Teorema

 El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.

Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k, si los hubiese, son nulos. O dicho de otra manera:

Si todos los menores de orden k y de orden mayor que k de una matriz son nulos, entonces el rango de dicha matriz tiene que ser menor que k.

Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite calcular el rango de una matriz $\mathbf{A}$ independientemente de como sea la matriz $\mathbf{A}$ .

Procedimiento para calcular el rango de una matriz usando menores

Sea $k_{max}$ el orden de los menores de mayor orden de la matriz $\mathbf{A}$ .

$k_{max}$ es el número de filas o el número de columnas de $\mathrm{A}$ , el que sea menor.

Empezando por $k = k_{max}$ y continuando con $k = k_{max} - 1, \, \ldots, \, k = 2, \, k = 1$ , para cada valor de $k$ se va comprobando si algún menor de orden $k$ es cero.

Considerando distintos valores de $k$ en este orden, el primer valor de $k$ que encontramos con un menor NO nulo es el rango de $\mathbf{A}$ .

Si no encontrasemos ningún $k$ satisfaciendo esta condición, entonces NO existiría ningún menor de $\mathbf{A}$ distinto de cero y el rango de $\mathbf{A}$ seria cero.

Ejemplo

Calculemos el determinante de la matriz $\mathbf{A} = \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} </pre> \right)$

En este caso $k_{max} = 3$ . Comprobamos primero si todos los menores de orden $k_{max}$ son nulos.

En este caso, solo hay un menor de orden 3, $\left| \, \mathbf{A} \, \right|$ , por lo tanto, solo tenemos que calcular un determinante de orden 3.

Como, despues de hacer las cuentas, resulta que $\left| \, \mathbf{A} \, \right| = 0$ todos los menores de orden 3 de $\mathbf{A}$ son cero y por el teorema anterior el rango de $\mathbf{A}$ ha de ser menor que 3.

Como todos los menores de orden 3 son nulos, pasamos a inspeccionar los menores de orden 3 - 1 = 2, y comprobamos si todos ellos son nulos ( cero ) o no.

$\mathbf{A}$ tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de ellos es distinto de cero. Si encontramos que alguno de ellos es cero paramos.

Supongamos que empezamos a calcular estos 9 menores en el siguiente orden:

1. Primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos

filas ( las de mas arriba ) y las primeras dos columnas ( las de mas a la izquierda ) de $\mathbf{A}$ ,

$\left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} </pre> \right| <pre>= 0 </pre> $

2. A continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos

filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la derecha ) de $\mathbf{A}$ ,

$\left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> \right| <pre>= 0 </pre> $

3. El tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las ultimas dos

filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la derecha ) de $\mathbf{A}$ .

$\left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 0 & 5 \end{array} </pre> \right| <pre>= 20 </pre> $

Procediendo asi, hubiesemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero como el tercer menor ya nos sale distinto de cero, paramos y concluimos que, como un menor de orden 2 es distinto de cero, por el teorema anterior el rango de $\mathbf{A}$ tiene que ser mayor o igual que 2. Como ya habiamos averiguado antes que el rango de $\mathbf{A}$ tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de $\mathbf{A}$ es 2.

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Categoría: Matemáticas