Ángulo entre dos rectas

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Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar $r$ y $s$ en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).

Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, $\alpha$ y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de $\alpha$ , $180 - \alpha$ .

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ cuyos vectores directores son, respectivamente, $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ se puede calcular con la siguiente fórmula:

$\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}$

Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas $r$ y $s$ .

Ejemplo

Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

$r: \left\{ <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> \right.$

$s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación $ <pre> \pi: 0 = x - 2y + 3z </pre> $ y el plano de ecuación $\pi^\prime: 0 = 2x - y + 4$ ).

Un vector director $\mathbf{u}$ de la recta $s$ es el vector que multiplica al parametro $t$ en su ecuación, es decir:

$\mathbf{u} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

Podemos obtener un vector director $\mathbf{v}$ de la recta $r$ multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:

$\pi: 0 = x - 2y + 3z$

por un vector perpendicular del plano

$\pi^\prime: 0 = 2x - y + 4$

Un vector perpendicular al plano $\pi$ lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:

$\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)$

De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al plano $\pi^\prime$ :

$\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)$

El producto vectorial de ambos vectores, $\mathbf{n}$ y $\mathbf{n}^\prime$ es

$\left| <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> \right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)$