Problemas de distancias
De Wikillerato
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Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos y es
Distancia entre un punto y una recta
La distancia de un punto a una recta es la distancia entre y su proyeccion en la recta .
Ejemplo
Calculemos la distancia del punto a la recta de ecuaciones
Sea la proyección del punto en la recta . Queremos calcular la distancia de a y para ello necesitamos conocer .
Para hallar vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
por un vector director de la recta . El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por y es perpendicular a la recta ).
Podemos obtener un vector director de la recta multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano por un vector perpendicular al plano .
Un vector perpendicular al plano lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de :
De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al plano :
El producto vectorial de ambos vectores, y es
donde
El producto escalar de por es
donde la primera fila del determinante es el vector .
El punto es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
con lo cual . Sustituyendo por en la tercera ecuación del sistema y despejando se llega a que
Finalmente, sustituyendo por y por en la segunda ecuación del sistema y despejando se llega a que
La distancia de a coincide con la distancia de a y esta es:
Distancia de un punto a un plano
Sea un plano con vector normal y al que pertenece el punto .
La distancia de un punto al plano es la longitud de la proyección del vector en la dirección normal al plano , que se puede calcular mediante la fórmula:
Ejemplo
Calculemos la distancia del punto al plano de ecuación:
Un vector normal al plano es el vector
Para encontrar un punto del plano damos valores a y a en la ecuación del plano , por ejemplo, , y despejamos , lo que nos da una ecuación en :
cuya solución es:
Por lo tanto es un punto del plano .
La distancia de a es
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