Reducción de las razones trigonométricas

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Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus lados.

Estas razones las definimos asociadas a cada uno de sus angulos de la siguiente forma:

El seno de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Su inversa es la cosecante:

$\mathrm{sen} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto opuesto}}$

El coseno de un ángulo, es la razon entre su cateto contiguo y la hipotenusa. Su inversa es la secante:

$\cos \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\sec \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto contiguo}}$

La tangente de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y su cateto contiguo. Su inversa es la contangente:

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{cateto contiguo}}$

$\mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{cateto opuesto}}$

Para el estudio de las razones trigonometricas se suele considerar el angulo $\alpha$ que forma el eje $X$ con el radio de una circunferencia de radio $1$ y centrada en el origen de coordenadas. A esta circunferencia se le llama circunferencia goniometrica.

En este caso

$\mathrm{sen} \, \alpha = y \qquad \mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{1}{y} \qquad $

$\mathrm{cos} \alpha = x \qquad \sec \alpha = \frac{1}{x}$

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{y}{x} \qquad \mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{x}{y}$

Aplicando el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo de la figura de arriba cuya hipotenusa es el segmento $\overline{OP}$ , deducimos que:

$x^2 \, + \, y^2 \, = \, 1$

Es decir

Siendo esta ultima igualdad cierta para cualquier angulo $\alpha$ . Esta igualdad es muy importante ya que se puede utilizar para resolver muchos problemas. A partir de ella se pueden derivar otras. Por ejemplo, si dividimos la igualdad anterior por $\mathrm{cos}^2 \alpha$ se obtiene:

$1 \, + \, \mathrm{tg}^2 \alpha \, = \, \mathrm{sec}^2 \alpha$

El angulo $\alpha$ aumenta si movemos el punto $P$ en la circunferencia de manera que el radio $\overline{OP}$ gire en sentido contrario al de las las agujas del reloj.

Si $P$ esta a la derecha del eje $Y,$ entonces $x > 0.$ En caso contrario, se tiene que $x < 0.$ Si $P$ esta por encima del eje $X,$ entonces $y > 0.$ En caso contrario, se tiene que $y < 0.$

Los ejes de coordenadas dividen la circunferencia goniometrica en cuatro cuadrantes. El signo de las razones de un angulo $\alpha$ depende de en que cuadrante este situado $P$ . Todas las posibilidades estan recogidas en la tabla siguiente:

%% }}} %% {{{ =suma y diferencia de angulos Se puede demostrar que dados dos angulos $\alpha$ y $\beta$ , el seno de su suma viene dado por la formula:

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, + \beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$

Si en la formula anterior sustituimos $\beta$ por $-\beta$ obtenemos:

$\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, - \beta \, \right) <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$

El coseno de la suma de los angulos $\alpha$ y $\beta$ viene dado por la formula:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, + \beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$

Si en la formula anterior sustituimos $\beta$ por $-\beta$ obtenemos:

$\mathrm{cos} \left( \, \alpha \, - \beta \, \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$

La segunda igualdad es cierta por las relaciones entre las razones trigonometricas de $\alpha$ y $-\alpha$ :

$\mathrm{cos} \left( \, -\alpha \, \right) \, = \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)$

$\mathrm{sen} \left( \, -\alpha \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)$

Si te preguntas porque esto es así, la respuesta la tienes en Reducción de las razones trigonometricas.

%% }}} %% {{{ =angulo doble y ángulo mitad

Como se explica en la sección sobre las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, + \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Teniendo en cuenta que $\mathrm{sen}^2 \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, + \, \mathrm{cos}^2 \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, 1$ , deducimos que:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 2 \cdot \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, - \, \left( \, 1 \, - \, \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \right) \, = \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) </pre> \right) \, - \, 1$

Según lo que se explica en la sección sobre razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, + \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Por tanto

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, 2 \cdot \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, 2 \cdot \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Si en las dos igualdades obtenidas:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{cos} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \, - \, 1 \\ & & \\ \mathrm{sen} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \end{array} </pre> \right.$

sustituimos $\alpha$ por $\frac{\alpha}{2}$ , obtenemos:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) \right) \, - \, 1 \\ & & \\ \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) </pre> \end{array} \right.$

Si consideramos el anterior par de igualdades como un sistema de ecuaciones cuyas incognitas son $\mathrm{sen} \left( <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> \right)$ y $\mathrm{cos} \left( <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> \right)$ y resolvemos ese sistema de ecuaciones, se llega a las siguientes igualdades:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> \right) \, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, + \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}$

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> \right) \, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, - \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}$

En ambos casos se elige el signo de la raiz en función de en que cuadrante este $\frac{\alpha}{2}$ .

%% }}} %% {{{ =razones trigonométricas de los ángulos mas frecuentes

La tabla de abajo muestra las razones trigonométricas de los ángulos que aparecen frecuentemente en los problemas. La mejor manera de aprenderse estas razones trigonométricas es haciendo ejercicios y utilizar la tabla cuando no se sepa o no se recuerde alguna de las razones trigonometricas que en ella aparecen.

Otros angulos que suelen aparecer en los problemas son $60^\circ, \, 90^\circ, \, 270^\circ, \, 180^\circ, \, 225^\circ, 135^\circ$ , etc. Las razones trigonometricas de estos angulos se pueden obtener a partir de las de los angulos que aparecen en la tabla anterior; la manera de hacer esto se explica en Reducción de las razones trigonometricas.

%% }}} %% {{{ =reducción de las razones trigonometricas

En este apartado veremos que las razones trigonométricas de cualquier angulo son calculables a partir de las de ángulos comprendidos entre $0^\circ$ y $45^\circ$ .

Para ello utilizaremos la siguiente tabla:

Por ejemplo, para conocer cual es la relación entre el coseno de $\, 90^\circ \, + \, \alpha \,$ y las razones trigonometricas de $\alpha$ , mirariamos a la celda situada en la quinta columna y segunda fila, para encontrar que:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 90^\circ \, + \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Las relaciones que muestran la tabla se pueden obtener a partir de la formulas del coseno y del seno de la suma y de la diferencia de dos angulos. Por ejemplo:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 90^\circ \, + \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{cos} \left( <pre> \, 90^\circ \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, - \, \mathrm{sen} \left( <pre> \, 90^\circ \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, 0 \cdot \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, - \, 1 \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Otra manera de obtener las relaciones que muestran la tabla es representando ambos angulos en la circunferencia goniometrica. Por ejemplo, si representamos en la circunferencia goniometrica $\alpha$ y $180^\circ \, - \, \alpha$ :

se observa facilmente que el coseno de $180^\circ \, - \, \alpha$ , la abcisa ( x ) del punto $P^\prime$ , coincide con el opuesto del coseno de $\alpha$ , la abcisa del punto $P$ , y que el seno de $180^\circ \, - \, \alpha$ , la ordenada ( y ) del punto $P^\prime$ , coincide con el seno de $\alpha$ , la abcisa del punto $P$ .

El mismo ejercicio se puede realizar con el resto de los angulos que se consideran en la tabla. Invitamos al lector que compruebe por si mismo, mirando a la figura de abajo, que las relaciones entre las razones trigonometricas de $-\alpha$ y $\alpha$ que aparecen en la tabla son correctas.

Ejemplo

Veamos un ejemplo de como se puede utilizar la tabla de arriba para calcular la tangente de $945^\circ$ :

Si dividimos $945^\circ$ entre $360^\circ$ obtenemos como cociente $2$ y como resto $225^\circ$ . Es decir:

$945^\circ \, = \, 2 \cdot 360^\circ \, + \, 225^\circ$

Utilizando la segunda columna de la tabla anterior, con $\alpha \, = \, 225^\circ$ y $k \, = \, 2$ , tenemos que:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{cos} \left( <pre> \, 225^\circ \, </pre> \right)$

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{sen} \left( <pre> \, 225^\circ \, </pre> \right)$

Así

$\mathrm{tg} \left( <pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, </pre> \right) \, = \, \frac { <pre> \mathrm{sen} \left( \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, \right) </pre> } { <pre> \mathrm{cos} \left( \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \frac { <pre> \mathrm{sen} \left( \, 225^\circ \, \right) </pre> } { <pre> \mathrm{cos} \left( \, 225^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \mathrm{tg} \left( <pre> \, 225^\circ \, </pre> \right)$

Por otra parte

$ <pre> 225^\circ \, = \, 180^\circ \, + \, 45^\circ </pre> $

A partir de la cuarta fila de la tabla deducimos que:

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ </pre> \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( <pre> \, 45^\circ \, </pre> \right)$

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ </pre> \right) \, = \, -\mathrm{cos} \left( <pre> \, 45^\circ \, </pre> \right)$

Por lo tanto,

$\mathrm{tg} \left( <pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \, </pre> \right) \, = \, \frac { <pre> \mathrm{sen} \left( \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \, \right) </pre> } { <pre> \mathrm{cos} \left( \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \frac { <pre> -\mathrm{sen} \left( \, 45^\circ \, \right) </pre> } { <pre> -\mathrm{cos} \left( \, 45^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \mathrm{tg} \left( <pre> \, 45^\circ \, </pre> \right)$