Métodos de integración

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Integración por partes

La fórmula para la derivada de un producto es:

$\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime$

Despejando el último sumando, queda:

$u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v$

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:

$\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.

Esta fórmula permite calcular la integral $\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x$ a partir de la integral $\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$ .

Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral $\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$ que la integral de partida,

$\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x$ .

Ejemplo

Calculemos la integral

$\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x$

por partes.

Si hacemos

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se tiene que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Utilizando la fórmula que hemos visto antes

$\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$

Por tanto

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Método de sustitución

Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:

$\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$

Una manera de resolver el problema es haciendo el cambio de variable

$t = \mathrm{f} \left( x \right)$

La nueva variable $t$ es una función de $x$ , con lo cual podemos hablar de la derivada de $t$ con respecto de $x$ , que se puede escribir como un cociente de diferenciales: