Métodos de integración

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Tabla de contenidos

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1 Integración por partes
- 1.1 Ejemplo
2 Método de sustitución
- 2.1 Ejemplo

Integración por partes

La fórmula para la derivada de un producto es:

$\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime$

Despejando el último sumando, queda:

$u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v$

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:

$\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.

Esta fórmula permite calcular la integral $\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x$ a partir de la integral $\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$ .

Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral $\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$ que la integral de partida, $\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x$ .

Ejemplo

Calculemos la integral

$\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x$

por partes.

Si hacemos

$\begin{array}{ll} <pre> u \left( \, x \, \right) & = x \\ v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> \end{array}$

se tiene que

$\begin{array}{ll} <pre> u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1 \\ v \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> \end{array}$

Utilizando la fórmula que hemos visto antes

$\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$

se deduce que

$\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \cdot\mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x + C = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot e^x + C$

Método de sustitución

Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:

$\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$

Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable

$t = \mathrm{f} \left( x \right)$

La nueva variable $t$ es una función de $x$ , con lo cual podemos hablar de la derivada de $t$ con respecto de $x$ , que se puede escribir como un cociente de diferenciales:

$\mathrm{f}^\prime \left( x \right) = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$

Despejando $\mathrm{d}t$ en la igualdad anterior, se deduce que

$\mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$

Sustituyendo $\mathrm{d}t$ por $\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$ y $\mathrm{f} \left( x \right)$ por $t$ en

$\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$

se tiene que

Supongamos que $\mathrm{G} \left( x \right)$ es una primitiva de $\mathrm{g} \left( x \right)$ , entonces

$\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left( <pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left( \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C </pre> $

Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. La utilidad de este método reside en encontrar con relativa facilidad una primitiva $\mathrm{G}$ de $\mathrm{g}$ .