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Métodos de integración
De Wikillerato
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Introducción
No todos los métodos de integración son adecuados para todas las integrales. La habilidad de ver cual es el método de integración mas idoneo para calcular una integral se adquiere resolviendo muchas integrales.
Integración por partes
La fórmula para la derivada de un producto es:
Despejando el último sumando, queda:
Si integramos en los dos miembros, se obtiene:
La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.
Esta fórmula permite calcular la integral
a partir de la integral
.
Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte
mas sencilla de resolver la integral
que la integral de partida,
.
Ejemplo
Calculemos la integral
por partes.
Si hacemos
se tiene que
Utilizando la fórmula que hemos visto antes
se deduce que
Método de sustitución
Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:
Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable
La nueva variable
es una función de
,
con lo cual podemos hablar de la derivada de
con respecto de
, que se puede escribir como un cociente de diferenciales:
Despejando
en la igualdad anterior, se deduce que
Sustituyendo
por
y
por
en
se tiene que
Supongamos que
es una primitiva de
,
entonces
Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El
método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva
de
.
Ejemplo
Calculemos mediante el método de sustitución la integral
Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con
Observese que
En este caso, una primitiva de
es
Por lo tanto
