Área bajo la grafica de una función continua

De Wikillerato

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Ejemplo

Sea $\mathrm{f}$ una función continua en todo su dominio $D$ y sea $\left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right)$ un intervalo incluido en su dominio, tal que $\mathrm{f}$ toma solo valores positivos en dicho intervalo $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]$ .

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuacione $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X?

Este area el la integral entre $a$ y $b$ de $\mathrm{f}$ y la denotamos por:

$\en that_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Una manera de dar una solución aproximada a esta pregunta es la siguiente:

dividimos el intervalo $\left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right]$ en $n$ intervalos de la misma longitud. Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

$x_0 = a, \, x1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b$

donde $x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i$ .

Para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo $\left[ \, x_{i-1}, \, x_i \, \right]$ y cuya altura es de longitud $\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)$ .

Haciendo esto para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , terminamos con $n$ rectangulo. La suma de sus areas es una buena aproximación al area bajo la grafica de $\mathrm{f}$ que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea $n$ mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a $\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$ .