Área bajo la grafica de una función continua

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Ejemplo

Sea $\mathrm{f}$ una función continua en el intervalo $\left[ <pre> \, a, \, b \, </pre> \right]$ , tal que $\mathrm{f}$ toma solo valores positivos en dicho intervalo ( $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]$ ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuacione $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area el la integral entre $a$ y $b$ de $\mathrm{f}$ y la denotamos por:

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos.

Dividimos el intervalo $\left[ <pre> \, a, \, b \, </pre> \right]$ en $n$ intervalos de la misma longitud ( $\frac{b - a}{n}$ ). Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

$x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b$

donde $x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i$ .

Para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo $\left[ \, x_{i-1}, \, x_i \, \right]$ y cuya altura es de longitud $\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)$ .

Haciendo esto para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , terminamos con $n$ rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de $\mathrm{f}$ que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea $n$ mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a $\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$ .

Así, cuando $n = 2$ :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo $n = 4$ :

Llamemos $S_n$ a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

$S_n \longrightarrow \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

Es decir, $S_n$ tiende a $ <pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $ cuando el número de rectangulos, $n$ , tiende a infinito.

En todo lo que hemos vistos hemos supuesto que la función $\mathrm{f}$ toma valores positivos en el intervalo $\left[ \, a, \, b \, \right]$ . ¿Que pasaría si $\mathrm{f}$ tomase valres negativos en dicho intervalo? En este caso, ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuacione $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad al caso $\mathrm{f} \ge 0$ seria aplicable a este caso, pero:

$S_n \longrightarrow -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

y el area sobre la grafica de la función es

$-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

siendo la integral definida $\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$ negativa porque $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]$