Esperanza matemática

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Sea $X$ una variable aleatoria, el "Valor Esperado" o "Esperanza Matemática" de dicha variable es el número representado como $E[X]$ y que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Caso discreto

En caso que $X$ sea una variable aleatoria discreta con valores $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ y sus probabilidades estén representadas por la función de probabilidad $p(x_{1}), p(x_{2}), ..., p(x_{n})$ , la esperanza se calcula como:

$E[X] = x_{1} p( x_{1} ) + x_{2} p( x_{2} ) + ... + x_{n} p( x_{n} ) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} p(x_{i})$

Caso continuo

En caso en que $X$ sea una variable aleatoria continua, la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad $f(x)$ :

$E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x_{i} p(x_{i}) d(x)$

Propiedades de la Esperanza:

Para poder operar con la esperanza debemos conocer sus propiedades. Sean $X$ e $Y$ dos variables aleatorias, y $c$ una constante, se pueden aplicar las siguientes operaciones:

$E[c] = c$

$E[cX] = cE[X]$

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

$E(X - Y) = E(X) - E(Y)$

$E(XY) = E(X) E(Y)$

Ejemplo:

Representemos con $X$ la variable aleatoria que representa una tirada con un dado de 6 caras. Los posibles valores de $X$ son $1, 2, 3, 4, 5,$ y $6$ todos ellos con la misma probalibilidad $\frac{1}{6}$ , la esperanza de $X$ es: