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Eneágono
De Wikillerato
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Tabla de contenidos
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Construcción de polígonos
Los polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos a dos.
Se clasifican en regulares si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares si no lo son.
Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos interiores mayor de 180º.
Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.
Triángulos
Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a 180º.
Se clasifican, según sus ángulos en:
- Equilateros. Si tienen tres lados iguales
- Isósceles. Si tienen dos lados iguales.
- Escalenos. Si tienen tres lados desiguales.
Según la magnitud relativa de sus lados, los triángulos se clasifican en:
- Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos.
- Rectángulos. Si tienen un ángulo recto.
- Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso.
La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes.
Rectas y puntos notables.
Mediatrices
Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.
Bisectrices
Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado Incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita.
Medianas
Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del puntop medio del lado opuesto.
Alturas
Las alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vértices opuestos. La intersección de las alturas es el Ortocentro.
A efectos prácticos, como altura, se consideran las distancias de los vértices a los lados opuestos. Como generalidad, es la mínima distancia entre un punto y una recta. Si la recta es fija, el vértice opuesto se encuetra en el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija, o sea, una paralela al lado a una distancia igual a la altura de ese lado.
Construcción de triángulos.
A raiz del último comentario, vuelvo a hacer hincapié en la importancia que tiene el concepto de lugar geométrico para la resolución de la mayoría de los problemas de trazado geométrico.
En la mayoría de los problemas de construcción de triángulos, uno de los datos será alguno de los lados, el cual nos sevirá para fijar dos puntos y la recta que definen. A partir de estos elementos fijos el problema se reduce a determinar la posición del tercer vértice. Ese vértice se encontrá en la intersección de dos lugares geométricos cuya condición podemos deducir de los demás datos que nos den, como se puede observar en la tabla adjunta.
Tipos de datos Datos Lugar geométrico Lineales Distancia entre puntos Lados Medianas Alturas (vértice fijo) Circunferencia Distancia entre recta y punto Alturas (lado fijo) Paralelas Angulos Adyacentes Angulos Semiángulos(vértice fijo) Recta de dirección determinada Opuestos Angulo opuesto(lado fijo) Arco capaz
Supongamos que queremos construir un triángulo dados los lados a y b, y la altura ha.
Fijamos el lado a, obteniendo la posición de los vértices B y C. Nos queda pues, determinar la posición del vértice A. La distancia de A a C es el lado b, por lo que trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de C la distancia b (una circunferencia de centro C y r = b).
El otro dato es la altura del vértice A. Trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta a, la distancia ha. (Una paralela al lado BC a una distancia ha). (Fig. 19)
Con el mismo razonamiento hemos construido un triángulo de que conocemos el lado a, el ángulo a y la mediana na. Este ejercicio tiene cuatro soluciones, considerando la doble solución del arco capaz, de las que se han representado dos. (Fig. 20)
Cuadriláteros
Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se dividen en paralelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos, lo que nos permite construirlos por triangulación.
Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos son iguales.
Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y trapezoides, si no tienen lados paralelos.
Construcción de cuadriláteros
Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse por triangulación, es decir, construyendo los dos triángulos en que quedan divididos por una de sus diagonales.
Veamos algunos de los casos que pueden plantear cierta dificultad.
Cuadrado conociendo la diagonal
Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Los puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices B y D del cuadrado. (Fig. 21)
El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A y C, razón por la cual trazamos el arco capaz del ángulo recto respecto a la diagonal y la mediatriz de la misma.
Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un triángulo rectángulo isósceles del que conocemos la base.
Rectángulo conociendo la diagonal y un lado
Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los lados porque los triángulos son escalenos. (Fig. 22)
Polígonos regulares
Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado.
Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.
Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexágono de lado AB.
Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de un polígono de lado AB y n número de lados.
Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia circunscrita
A partir de un diámetro AB, dibujamos una circunferencia.
Dividimos el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número de lados que ha de tener el polígono.
Haciendo centro en los extremos del diámetro, trazamos arcos de radio AB que se cortan en los puntos M y N.
Uniendo los puntos M y N, obtenemos sobre la circunferencia los vértices del polígono. (Fig. 24)
Métodos particulares
Triángulo, hexágono y dodecágono.
En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado.
Podemos dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos de circunferencia con centros en los extremos de un diámetro y con el mismo radio de la circunferencia.
Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, la circunferencia queda dividida en 12 partes iguales.
Tomando sólo tres vertices no consecutivos del hexágono, se obtiene el triángulo equilátero.
Cuadrado y octógono.
Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partes iguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho partes iguales de la circunferencia. (Fig. 26)
Pentágono y decágono
Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus radios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio trazamos un arco de radio ME, que corta en F al diámero PQ. De esta manera obtenemos los segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágono respectivamente. (Fig. 27)
Pentágono conociendo el lado
Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos.
Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la magnitud del lado para obtener el punto M.
Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre la prolongación de AB determinando el punto F.
La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentágono.
Con las medidas del lado y la diagonal hallada contruimos el pentágono por triangulación.
Hexágono conociendo el lado
Construimos el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB del hexágono. El vértice O hallado es el centro de la circunferencia circunscrita. (Fig. 29)
Heptágono
La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunstrita corta a la circunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado del heptágono.
