Problemas de distancias

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Tabla de contenidos

1 Distancia entre dos puntos
2 Distancia de un punto a un plano
3 Distancia de una recta a un plano
4 Distancia entre dos rectas

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos $P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)$ y $P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)$ es

$\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ </p> <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> <p>}$

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Distancia de un punto a un plano

Sea $\pi$ un plano con vector normal $\mathbf{n}$ y al que pertenece el punto $Q$ .

La distancia de un punto $P$ al plano $\pi$ es la longitud de la proyección del vector $\vec{PQ}$ en la dirección normal al plano $\pi$ , que se puede calcular mediante la fórmula:

$\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| </p> <pre> \, \mathbf{n} \, \right|}} </pre> <p>$

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Distancia de una recta a un plano

Sea $r$ una recta paralela a un plano $\pi$ .

Para calcular la distancia de $r$ a $\pi$ lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto $P$ en la recta $r$ y calcular la distancia de este punto al plano $\pi$ .

Distancia entre dos rectas

Para calcular la distancia entre dos rectas, $r$ y $s$ , que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas, $\mathbf{u}_r$ y $\mathbf{u}_s$ , y un par de puntos, $P$ y $Q$ , en $r$ y en $s$ , respectivamente.

A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector $\vec{PQ}$ en la dirección normal a un plano paralelo a $r$ y a $s$ . Esta dirección es la del vector

$\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s$