Conceptos básicos: espacios vectoriales

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En el plano, un vector fijo $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$ es un segmento orientado de origen $P$ y extremo $Q$ , que tiene las siguientes caracteristicas:

$\bullet$ Módulo: longitud del segmento $PQ$ .

$\bullet$ Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.

$\bullet$ Sentido: el que va del origen al extremo.

Los vectores $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$ y $\stackrel{\longrightarrow}{QP}$ tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$ y $\stackrel{\longrightarrow}{QP}$ son opuestos.

El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si $\vec{u}$ es un vector libre y $O$ es un punto del plano, existe un único punto $P$ tal que $\vec{u} \, = \, \stackrel{\longrightarrow}{OP}$ .

Componentes de un vector

Un sistema de referencia esta formado por dos rectas $OX$ y $OY$ , llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto $O$ , origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.

Para representar un punto $P$ del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan dese $P$ perpendiculares a los ejes, obteniendo $P_1$ y $P_2$ . Si la distancia de $P_1$ a $O$ es $x_1$ , y la de $P_2$ a $O$ es $y_1$ , entonces $x_1$ e $y_1$ reciben el nombre de coordenadas del punto $P$ . Se escribe $P \, = \, \left( <pre>\, x_1, \, y_1 \, </pre> \right)$ , siendo $x_1$ la abcisa e $y_1$ la ordenada.

Conocidas las coordenadas del origen $A \, = \, \left( <pre> \, x_1, \, y_1 \, </pre> \right)$ y del extremo $B \, = \, \left( <pre>\, x_2, \, y_2 \, </pre> \right)$ de un vector fijo $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ , se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del extremo las del origen:

$\stackrel{\longrightarrow}{AB} \, = \, \left( <pre> \, x_2 \, - \, x_1, \, y_2 \, - \, y_1 \, </pre> \right)$

Suma de vectores

Sean $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ dos vectores libres, se define el vector suma $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}$ como otro vector obtenido de la siguiente forma:

1. Se señala un punto $O$ del plano y se traza el vector $\stackrel{\longrightarrow}{OP}$ representante de $\vec{\mathbf{u}}$ .

2. Por el extremo $P$ se traza el vector $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$

3. El vector $\stackrel{\longrightarrow}{OQ}$ que tiene como origen $O$ ( origen del primero ) y como extremo $Q$ ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma $\vec{u} \, + \, \vec{v}$ .

La suma tiene las siguientes propiedades:

$\bullet$ Asosiativa: $\left( <pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \, </pre> \right) \, + \, \vec{\mathbf{w}} \, = \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \left( <pre> \, \vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{w}} \, </pre> \right)$

$\bullet$ El vector nulo es $\vec{\mathbf{0}}$ , pues: $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{0}} \, = \, \vec{\mathbf{0}} \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{u}}$

$\bullet$ El vector opuesto de $\vec{\mathbf{v}}$ es $-\vec{\mathbf{v}}$ , pues: $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \left( -\vec{\mathbf{u}} \right) \, = \, \left( <pre> -\vec{\mathbf{u}} \right) \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}} </pre> $

$\bullet$ Conmutativa: $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}\, = \,\vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{u}}$

Producto de un número real por un vector

Si $\vec{\mathbf{u}}$ es un vector libre y $\alpha$ un número real, se define el producto $\alpha \vec{\mathbf{u}}$ como un nuevo vector que tiene por módulo el producto $\left| \, \alpha \, \right| \cdot \left| \, \vec{\mathbf{u}} \, \right|$ , por dirección la misma de $\vec{\mathbf{u}}$ y sentido el mismo de $\vec{\mathbf{u}}$ si $\alpha$ es positivo, y opuesto, si $\alpha$ es negativo.

El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:

$\alpha \left( <pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \, </pre> \right) <pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \alpha \vec{\mathbf{v}} </pre> $

$\left( <pre> \, \alpha \, + \, \mu \, </pre> \right) \vec{\mathbf{u}} <pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{u}} </pre> $

$1 \cdot \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{u}}$

$\alpha \left( <pre> \, \mu \vec{\mathbf{u}} \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \, \alpha \mu \, </pre> \right) \vec{\mathbf{u}}$

Además, si $\alpha \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}$ , se verifica que, o bien $\alpha \, = \, 0$ o bien $\vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}$ .