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Posiciones relativas de dos rectas
De Wikillerato
Tabla de contenidos |
Introducción
Dos rectas pueden adoptar en el espacio las cuatro posiciones relativas siguientes:
1. Coincidentes.
2. Paralelas.
3. Secantes.
4. Rectas que se cruzan.
Supongamos que tenemos dos rectas
y
cada una de las cuales vienen dada como la interseccion de dos planos:
![r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0
\\
a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.
\qquad s:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0
\\
a_4 \cdot x \, + \, b_4 \cdot y \, + \, c_4 \cdot z \, + \, d_4 \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-af3d8faf36c8a6a95d82f367f6cbeb0b.png "r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0
\\
a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.
\qquad s:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0
\\
a_4 \cdot x \, + \, b_4 \cdot y \, + \, c_4 \cdot z \, + \, d_4 \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
Para determinar su posición relativa en el espacio tendremos que analizar el sistema formado por las ecuaciones de los cuatro planos, cuyas matrices asociadas son:
![A \, = \,
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a_1 & b_1 $ c_1
\\
a_2 & b_2 $ c_2
\\
a_3 & b_3 $ c_3
\\
a_4 & b_4 $ c_4
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \,
\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
a_1 & b_1 $ c_1
\\
a_2 & b_2 $ c_2
\\
a_3 & b_3 $ c_3
\\
a_4 & b_4 $ c_4
\\
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{ccc}
-d_1
\\
-d_2
\\
-d_3
\\
-d_4
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-5985e3acb7aa748e2bac1137a39082aa.png "A \, = \,
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a_1 & b_1 $ c_1
\\
a_2 & b_2 $ c_2
\\
a_3 & b_3 $ c_3
\\
a_4 & b_4 $ c_4
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \,
\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
a_1 & b_1 $ c_1
\\
a_2 & b_2 $ c_2
\\
a_3 & b_3 $ c_3
\\
a_4 & b_4 $ c_4
\\
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{ccc}
-d_1
\\
-d_2
\\
-d_3
\\
-d_4
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
Las dos primeras filas de
son linealmente independientes, ya que ambos planos determinan una recta. Por
tanto, Rango ( A )
y Rango ( A | B )
. Según el teorema de Rouché-Fröbenius, se pueden presentar los casos que describimos a continuacion.
Casos que se pueden dar:
Coincidentes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2
El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado ( tiene infinitas soluciones ). Las rectas tienen todos sus puntos comunes. Son rectas coincidentes.
Paralelas: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3
El sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas no tienen ningún punto en común, pero como Rango ( A ) = 2, las rectas son coplanarias ( estan en el mismo plano ). Son rectas paralelas.
Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3
El sistema de ecuaciones es compatible determinado ( tiene una solución única ). Las rectas tienen un solo punto común, que es el punto de corte de ambas rectas. Son rectas secantes.
.l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l. .l .l .l. l. l. l. l.
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