Teorema de Bayes

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Enunciado
2 Demostración
3 Ejemplo

Enunciado

Sean $A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,$ sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos y la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea $B$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $\mathrm{P} \left( <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> \right)$ .

Entonces las probabilidades $\mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> \right)$ vienen dadas por la expresión:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Demostración

Por definición de probabilidad condicionada

$\mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \cap \, B \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, </pre> \right) \cdot \mathrm{P} \left( <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, B \, </pre> \right) \cdot \mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> \right)$

despejando [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] , se tiene:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

La probabilidad $\mathrm{P} \left( <pre> \, B \, </pre> \right)$ , por el teorema de la probabilidad total, es igual a

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.

Ejemplo

Tenemos tres urna: $U_1$ con tres bolas rojas y 5 negras, $U_2$ con dos bolas rojas y una negra y $U_3$ con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna $U_1$ ?

Llamamos $R$ al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es $\mathrm{P} \left( <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> \right)$ . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: