Distribuciones discretas

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Tabla de contenidos

1 Función de probabilidad
- 1.1 Ejemplo
2 Función de distribución
3 Distribución binomial

Función de probabilidad

Denotaremos como $\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, x_i \, </pre> \right)$ a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor $x_i$ .

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ a la aplicacion que a cada valor de $x_i$ de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:

$\mathrm{f} \left( <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, x_i \, \right) </pre> $

Por definición, deducimos que si $\left\{ <pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, </pre> \right\}$ son los valores que puede tomar la variable $X$ , entonces:

$\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, <pre> x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \, </pre> \ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1$

ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.

Ejemplo

En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación $X$ que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:

$\begin{array}[c]{cc} \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P} <pre>\left( \, X \, = \, 0 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 1 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad \\ & \\ \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 2 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 3 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad </pre> \end{array}$

Observa que $\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1$

Función de distribución

Dada una variable aleatoria discreta $X$ , su función de distribución es la aplicación que a cada valor de $x_i$ de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que $x_i$ , y la denotamos por:

$\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, X \le x_i \, </pre> \right)$

La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguentes caracteristicas:

1. Al ser una probabilidad, $1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0$ .

2. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es nula para todo valor de $x$ menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a la unidad para todo valor de $x$ mayor que el mayor valor de la variable.

3. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es creciente.

4. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es constante en cada intervalo $\left( <pre> \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \, </pre> \right)$ , además es continua a la derecha de $x_i$ y a la izquierda $x_{i \, + \, 1}$ , y discontinua a la izquierda de $x_i$ y a la derecha de $x_{i+1}$ , para $i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1$

5. Sea $x_j > x_i$ , entonces $\mathrm{F} \left( <pre> \, x_j \, \right) \, - \, \mathrm{F} </pre> \left( <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, x_j \ge X > x_i \, \right) </pre> $

Distribución binomial

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso $A$ , llamado exito, y su contrario, $\bar{A}$ llamado fracaso.

2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

3. La probabilidad de $A$ , que denotamos por $p$ , no varía de una prueba a otra.

4. En cada experimento se realizan $n$ pruebas idénticas.

Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable $X$ , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial.

Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.

Existen varias maneras de obtener $r$ exitos en las $n$ pruebas. Supongamos que $n \, = \, 3$ y calculemos la probabilidad del suceso $\left\{ <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> \right\}$ . Existen tres posibilidades de que ocurra $X \, = \, 2$

$\begin{array}[c]{cc} <pre> 1^\circ: & \bar{A}AA \\ 2^\circ: & A\bar{A}A \\ 3^\circ: & AA\bar{A} </pre> \end{array}$

La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso el fracaso ocurre en la primera prueba, en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.

Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, \bar{A}AA \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A\bar{A}A \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, AA\bar{A} \, \right) </pre> $

$\mathrm{P} \left( <pre> \, \bar{A}AA \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, A\bar{A}A \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, AA\bar{A} \, </pre> \right) <pre>\, = \, p^2 \cdot </pre> \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right)$ . Por ejemplo:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, AA\bar{A} </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right)$

donde la ultima igualdad es cierta por que los resultados de las tres pruebas son independientes.

Así

$\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> \right) \, = \, 3 \cdot p^2 \cdot \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right)$

En general:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, r \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \, { n \atop r } </pre> \right) \cdot p^r \cdot \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right) ^ \left( <pre> \, n \, - \, r \, </pre> \right)$

donde $\left( <pre> \, { n \atop r } </pre> \right)$ es el numero de sucesos elementales que componen el suceso $\left\{ <pre> \, X \, = \, r \, </pre> \right\}$ ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).

$p^r \cdot \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right) ^ \left( <pre> \, n \, - \, r \, </pre> \right)$ es la probabilidad de uno cualquiera de estos sucesos elementales.