Distribuciones discretas

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Tabla de contenidos

1 Función de probabilidad
- 1.1 Ejemplo
2 Función de distribución
3 Distribución binomial
- 3.1 Definición
- 3.2 Ejemplo

Función de probabilidad

Denotaremos como $\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, x_i \, </pre> \right)$ a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor $x_i$ .

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ a la aplicacion que a cada valor de $x_i$ de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:

$\mathrm{f} \left( <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, x_i \, \right) </pre> $

Por definición, deducimos que si $\left\{ <pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, </pre> \right\}$ son los valores que puede tomar la variable $X$ , entonces:

$\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, <pre> x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \, </pre> \ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1$

ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.

Ejemplo

En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación $X$ que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:

$\begin{array}[c]{cc} \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P} <pre>\left( \, X \, = \, 0 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 1 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad \\ & \\ \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 2 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 3 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad </pre> \end{array}$

Observa que $\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1$

Función de distribución

Dada una variable aleatoria discreta $X$ , su función de distribución es la aplicación que a cada valor de $x_i$ de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que $x_i$ , y la denotamos por:

$\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, X \le x_i \, </pre> \right)$

La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguientes caracteristicas:

1. Al ser una probabilidad, $1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0$ .

2. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es nula para todo valor de $x$ menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a uno para todo valor de $x$ mayor que el mayor valor de la variable.

3. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es creciente.

4. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es constante en cada intervalo $\left( <pre> \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \, </pre> \right)$ , además es continua a la derecha de $x_i$ y a la izquierda $x_{i \, + \, 1}$ , y discontinua a la izquierda de $x_i$ y a la derecha de $x_{i+1}$ , para $i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1$

5. Sea $x_j > x_i$ , entonces $\mathrm{F} \left( <pre> \, x_j \, \right) \, - \, \mathrm{F} </pre> \left( <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, x_j \ge X > x_i \, \right) </pre> $

Distribución binomial

Definición

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso    , llamado
exito, y su contrario,   , llamado fracaso.

2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

3. La probabilidad de    , que denotamos por    , no varía de una prueba a otra.

4. En cada experimento se realizan      pruebas idénticas.

Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable $X$ , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial.

Existen varias maneras de obtener $r$ exitos en las $n$ pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda $n \, = \, 3$ veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras": $\left\{ <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> \right\}$ . ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra $\left\{ <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> \right\}$ :

$\begin{array}[c]{cc} <pre> 1^\circ: & \bar{A}AA \\ 2^\circ: & A\bar{A}A \\ 3^\circ: & AA\bar{A} </pre> \end{array}$

La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.

Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, \bar{A}AA \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A\bar{A}A \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, AA\bar{A} \, \right) </pre> $

Por otra parte, $\mathrm{P} \left( <pre> \, \bar{A}AA \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, A\bar{A}A \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, AA\bar{A} \, </pre> \right) <pre>\, = \, p^2 \cdot </pre> \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right)$ . Por ejemplo:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, AA\bar{A} </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \, <pre> p \, \right) </pre> $

donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son independientes.

Así

$\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> \right) \, = \, 3 \cdot p^2 \cdot \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right)$

En general:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, r \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \, { n \atop r } </pre> \right) \cdot p^r \cdot \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right) ^ \left( <pre> \, n \, - \, r \, </pre> \right)$

donde

$\left( <pre> { n \atop r } </pre> \right) \, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r \, \right)!}$

es el número de sucesos elementales que componen el suceso $\left\{ <pre> \, X \, = \, r \, </pre> \right\}$ ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).

$p^r \cdot \left( <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> \right) ^ \left( <pre> \, n \, - \, r \, </pre> \right)$ es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.

Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.

NOTA: $n!$ es el factorial de $n$ , $n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1 \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1$

Ejemplo

¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?

En este caso el experimento aleatorio consiste de $n \, = \, 5$ "pruebas". Cada una de estas pruebas es el nacimiento de un hijo. Supongomos que la probabilidad de que un hijo sea chico es de $p \, = \, 5$ . Entonces, si $X$ es el numero de hijos varones, entonces:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, 3 \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> { 5 \atop 3 } </pre> \right) \cdot 0,5^3 \cdot \left( <pre> \, 1 \, - \, 0,5 \, </pre> \right) ^ { <pre> \left( \, 5 \, - \, 3 \, \right) </pre> } \, = \, \frac{5!}{3!2!} \cdot 0,5^5 \, = \, 10 \cdot 0,5^5$