Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

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Sistema generador

Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador.

Ejemplo

En $R^2$ , los vectores

$\vec{\mathbf{v}}_1 \, = \, \left( <pre> \, \frac{1}{2}, \, 0 \, </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad \vec{\mathbf{v}}_2 \, = \, \left( <pre> \, 0, \, \frac{1}{3} </pre> \right)$

forman un sistema generador ya que cualquier vector $\left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right)$ en $R^2$ se puede poner como combinación lineal de [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]:

$\left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right) \, = \, 2x \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, 3y \cdot \vec{\mathbf{v}}_2$

Base

Una base de un espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes.

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.

Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

Dada una base

$B \, = \, \left\{ <pre> \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{u}}_n </pre> \right\}$

y un vector $\vec{\mathbf{v}}$ , el vector $\vec{\mathbf{v}}$ se puede escribir de la siguiente forma:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Los numeros $\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n$ reciben el nombre de coordenadas del vector $\vec{\mathbf{v}}$ en la base $B$ .

Así, el vector $\vec{\mathbf{v}} = \left( <pre> \, 10, \, 2 \, </pre> \right)$ expresado en la base $B \, = \, \left\{ <pre> \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \, </pre> \right\}$ , siendo $\vec{\mathbf{u}}_1 = \left( <pre> \, 1, \, 2 \, </pre> \right)$ y $\vec{\mathbf{u}}_2 = \left( <pre> \, 2, \, 1 \, </pre> \right)$ , es:

$\left( <pre> \, 10, \, 2 \, </pre> \right) = \alpha_1 \cdot \left( <pre> \, 1, \, 2 \, \right) \, + \, \alpha_2 \cdot </pre> \left( <pre> \, 2, \, 1 \, \right) \, = \, \left( \, \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2, \, 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 \, \right) </pre> $

de donde:

$\left. <pre> \begin{array}[c]{rcl} \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2 & = & 10 \\ 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 & = & 2 \end{array} </pre> \right\} \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, -2, \, \alpha_2 \, = \, 6$

Las coordenadas del vector $\vec{\mathbf{v}}$ en la base $B$ son -2 y 6.

En      cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base.
En      cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.