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Teorema de Rouche-Fröbenius
De Wikillerato
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Enunciado
Un sistema de
ecuaciones lineales con
incognitas es compatible ( tiene solución ) si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz
ampliada.
Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:
1. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el numero de incognitas.
2. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al numero de incognitas.
En el primer caso el sistema es compatible indeterminado y en el segundo caso el sistema es compatible determinado.
Ejemplo:sistemas homogeneos
En un sistema de ecuaciones homogeneo, la matriz
de los terminos independientes es una matriz nula, de manera que el
rango de
la matriz de los coeficientes y el de la
matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius,
que un sistema homogeneo siempre es compatible. En cualquier sistema homogeneo, siempre
podemos obtener una solución particular igualando todas las incognitas a 0.
Un sistema homogeneo es compatible indeterminado cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es cero. Si este determinante no es cero el sistema homogeneo es compatible determinado.
