Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

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Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus lados.

Estas razones las definimos asociadas a cada uno de sus angulos de la siguiente forma:

El seno de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Su inversa es la cosecante:

$\mathrm{sen} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto opuesto}}$

El coseno de un ángulo, es la razon entre su cateto contiguo y la hipotenusa. Su inversa es la secante:

$\cos \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\sec \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto contiguo}}$

La tangente de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y su cateto contiguo. Su inversa es la contangente:

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{cateto contiguo}}$

$\mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{cateto opuesto}}$

Para el estudio de las razones trigonometricas se suele considerar el angulo $\alpha$ que forma el eje $X$ con el radio de una circunferencia de radio $1$ y centrada en el origen de coordenadas. A esta circunferencia se le llama circunferencia goniometrica.

En este caso

$\mathrm{sen} \, \alpha = y \qquad \mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{1}{y} \qquad $

$\cos \alpha = x \qquad \sec \alpha = \frac{1}{x}$

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{y}{x} \qquad \mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{x}{y}$

El angulo $\alpha$ aumenta sii movemos el punto $P$ en la circunferencia de manera que el radio $\overline{OP}$ gire en sentido contrario al de las las agujas del reloj.

Si $P$ esta a la derecha del eje $Y,$ entonces $x > 0.$ En caso contrario, se tiene que $x < 0.$ Si $P$ esta por encima del eje $X,$ entonces $y > 0.$ En caso contrario, se tiene que $y < 0.$

Los ejes de coordenadas dividen la circunferencia goniometrica en cuatro cuadrantes. El signo de las razones de un angulo $\alpha$ depende de en que cuadrante este situado $P$ . Todas las posibilidades estan recogidas en la tabla siguiente:

%% }}} %% {{{ =suma y diferencia de angulos

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, + \beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$

Si en la formula anterior sustituimos $\beta$ por $-\beta$ obtenemos:

$\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, - \beta \, \right) <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, + \beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$

Si en la formula anterior sustituimos $\beta$ por $-\beta$ obtenemos:

$\mathrm{cos} \left( \, \alpha \, - \beta \, \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, -\beta \, </pre> \right) <pre>\, = \, \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, </pre> \right)$