Desarrollo de un determinante

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En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario, adjunto y matriz adjunta.

Menor complementario

Para una matriz cuadrada de orden $n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),$ se llama menor complementario del elemento $a_{ij},$ y lo representamos por $\alpha_{ij},$ al determinante de la matriz cuadrada de orden $n - 1$ que resulta de suprimir la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz $A$

Ejemplo

Los menores complementarios de la matriz

$A = \left( <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} </pre> \right)$

son

$\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{12} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{13} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \\ & & \\ \alpha_{21} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{22} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{23} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

$\begin{array}[c]{ccc} \alpha_{31} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{32} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{33} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

Matriz adjunta

Para una matriz cuadrada de orden $n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),$ se llama adjunto del elemento $a_{ij},$ y lo representamos por $A_{ij},$ al producto $\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}$ , es decir:

$A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}$

La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada $A$ se llama matriz adjunta de $A$ y se denota por $\makebox{Adj} \left( A \right)$

Ejemplo

Los adjuntos de la matriz $A$ del ejemplo anterior son:

$\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6 \\ A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}$

La matriz adjunta de $A$ es

$\makebox{Adj} \left( A \right) = \left( <pre> \begin{array}{ccc} </pre> -3 & ~~~6 & -3 \\ ~~6 & -12 & ~~6 \\ -3 & ~~~6 & -3 \end{array} \right)$

El determinante de una matriz cuadrada de orden      es igual a la suma de los productos de los elementos
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente: