Cálculo del rango de una matriz

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A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad, nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una matriz dada posee matriz inversa y calcularla.

Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.

Para una matriz cuadrada de orden 2, $A = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} </pre> \right)$ se llama determinante de $A$ al número real:

$\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| = \left| <pre> \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} </pre> \right| = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

%% }}} %% {{{ =Propiedades de los determinantes En lo que sigue consideraremos $A$ como una matriz cuadrada de orden $n;$ $F_i$ y $C_j$ una fila y una columna cualesquiera de esa matriz. El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas

$\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| = \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_n \right)$

o de sus columnas

$\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| = \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_n \right)$

Las propiedades mas importantes de los determinantes son:

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.

$\makebox{det} \left( A \right) = \makebox{det} \left( A^t \right)$

2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero:

$\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, t \cdot C_j, \, \ldots, \, C_n \right) = t \cdot \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j, \, \ldots, \, C_n \right)$

$\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, t \cdot F_i, \, \ldots, \, F_n \right) = t \cdot \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \right)$

3. Si todas las lineas de una matriz de orden $n$ están multiplicadas por un mismo número $t$ el determinante de la matriz queda multiplicado por $t^n:$

$\left| t \cdot A \right| = t^n \cdot \left| A \right|$

$\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j + C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \, \right) \, = \,$

$\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j, \, \ldots, \, C_n \, \right) <pre>\, + \, </pre> \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \, \right)$

$\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i + F_i^\prime, \, \ldots, \, F_n \, \right) \, = \,$

$\, = \, \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \, \right) \, + \, \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i^\prime, \, \ldots, \, F_n \, \right)$

5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices:

$\makebox{det} \left( A \cdot B \right) = \makebox{det} \left( A \right) \cdot \makebox{det} \left( B \right)$

6. Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo:

$\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \, <pre> F_n \, \right) </pre> = -\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, <pre> \, F_n \, \right) </pre> $

7. Si una línea de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las lineas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras lineas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.

8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinacion lineal de las líneas restantes, su determinante no varia.

El metodo de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una línea utilizando las propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de esa linea en la que hemos hecho ceros.

%% }}} %% {{{ =Desarrollo de un determinante

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario, adjunto y matriz adjunta.

Menor complementario

Para una matriz cuadrada de orden $n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),$ se llama menor complementario del elemento $a_{ij},$ y lo representamos por $\alpha_{ij},$ al determinante de la matriz cuadrada de orden $n - 1$ que resulta de suprimir la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz $A$

Ejemplo

Los menores complementarios de la matriz

$A = \left( <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} </pre> \right)$

son

$\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{12} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{13} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \\ & & \\ \alpha_{21} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{22} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{23} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

$\begin{array}[c]{ccc} \alpha_{31} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{32} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{33} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

Matriz adjunta

Para una matriz cuadrada de orden $n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),$ se llama adjunto del elemento $a_{ij},$ y lo representamos por $A_{ij},$ al producto $\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}$ , es decir:

$A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}$

La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada $A$ se llama matriz adjunta de $A$ y se denota por $\makebox{Adj} \left( A \right)$

Ejemplo

Los adjuntos de la matriz $A$ del ejemplo anterior son:

$\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6 \\ A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}$

La matriz adjunta de $A$ es

$\makebox{Adj} \left( A \right) = \left( <pre> \begin{array}{ccc} </pre> -3 & ~~~6 & -3 \\ ~~6 & -12 & ~~6 \\ -3 & ~~~6 & -3 \end{array} \right)$

Desarrollo de un determinante

El determinante de una matriz cuadrada de orden      es igual a la suma de los productos de los elementos
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:

%% }}} %% {{{ =Cálculo de la inversa de una matriz La matriz inversa de una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ , es la matriz, $A^{-1}$ , de orden $n$ que verifica:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

Antes de calcular la matriz inversa de una dada hemos de asegurarnos de que efectivamente existe la matriz inversa. Para ello utilizamos la siguiente propiedad:

$A \, \, \makebox{es regular} \Leftrightarrow \left| A \right| \neq 0$

Una vez que hemos asegurado la existencia de la matriz inversa, calculamos esta mediante la siguiente expresion:

donde $ <pre>\makebox{Adj} \left( \, A \, \right) </pre> $ es la matriz adjunta de $A$ . Se verifica que

$\left| A^{-1} \right| = \frac{1}{\left| A \right|}$

%% }}} %% {{{ =Calculo del rango de una matriz

En este epígrafe vamos a ver otro procedimiento para calcular el rango de una matriz mediante determinantes.

Se llama menor de orden k de una matriz $A$ al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz $A$

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener
de esta matriz.

Si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son nulos.

%% }}}

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Categoría: Matemáticas

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Menor complementario

Ejemplo

Matriz adjunta

Ejemplo

Desarrollo de un determinante