Función derivada de la composición de funciones

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El componer dos funciones $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ consiste en aplicar $g$ al resultado de calcular $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ , es decir:

$R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R$

$x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)$

La derivada de $\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)$ viene dada por la fórmula:

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resultado que se conoce como regla de la cadena.

Ejemplo

Calculemos la derivada de

$\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2 \, \right)$

$\mathrm{h}$ es la composición de dos funciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2 \\ \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right) \end{array} </pre> \right.$

Es decir

$\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)$

Para derivar $\mathrm{h} \left( \, x \, \right)$ utilizamos la regla de la cadena:

$ <pre> \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) </pre> $

Como

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x \\ \mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right) \end{array} </pre> \right.$

se tiene que

$\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( <pre> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left( \, x^2 \, \right) \cdot 2x </pre> $