Discontinuidades

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Tipos de discontinuidades

Definición

Una función es discontinua en un punto $x \, = \, x_0$ si $\mathrm{f}$ no es continua en dicho punto.

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable

Una función $\mathrm{f}$ tiene una discontinuidad evitable en un punto $x \, = \, x_0$ cuando existe el limite de la función en dicho punto.

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, - \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1 \\ 3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1 \end{array} </pre> \right.$

no es continua en el punto $x \, = \, 1$ porque $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2$ mientras que $\mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, 3$ , es decir:

$\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right)$

Como $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ existe, la discontinuidad que $\mathrm{f}$ tiene en el punto $x \, = \, 1$ es evitable.

Discontinuidad de primera especie

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en el punto $x \, = \, x_0$ si los limites laterales de $f$ en $x \, = \, x_0$ existen pero son distintos, es decir:

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad 1 \ge x \\ x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1 \end{array} </pre> \right.$

no es continua en el punto $x \, = \, 1$ porque $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ no existe, al ser ambos limites laterales distintos:

$\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0$

$\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2$

Como ambos limites laterales existen, la discontinuidad que $\mathrm{f}$ tiene en el punto $x \, = \, 1$ es de primera especie.

Discontinuidad de segunda especie

Una función $f$ presenta una discontinuidad de segunda especie en el punto $x \, = \, x_0$ si no existe alguno de los limites laterales de $f$ en dicho punto.

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad 0 \ge x \\ 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0 \end{array} </pre> \right.$

no es continua en el punto $x \, = \, 0$ porque $\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ no existe, al no existir el limite por la izquierda de $\mathrm{f}$ cuando $x \to 0$ :