Matriz inversa

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Cálculo de la matriz inversa
- 2.1 Método de Gauss-Jordan
  - 2.1.1 Operaciones elementales por filas en una matriz
3 Ejercicios resueltos

Definición

La matriz inversa de una matriz cuadrada $A$ de orden $n,$ es la matriz, $A^{-1}$ , de orden $n$ que verifica:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$

donde $I$ es la matriz identidad de orden $n$ .

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

1. Si existe, $A^{-1}$ es única.

2. $\left( <pre> A^{-1} </pre> \right) ^{-1} = A$

3. $\left( <pre> A \cdot B </pre> \right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$

Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:

Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular $A$ se calcular transformando la matriz $\left( <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> \right)$ mediante operaciones elementales por filas en la matriz $\left( <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> \right)$

Operaciones elementales por filas en una matriz

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

1. Intercambiar las filas $i$ y $j,$ que designaremos por $F_i \longrightarrow F_j$

2. Multiplicar la fila $i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

3. Multiplicar la fila $i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

4. Sumar las filas $i$ y $j,$ , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila $i$ o $j$ . Lo designamos por $F_i$ o $F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j$