Ángulo doble y ángulo mitad

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Como se explica en la sección sobre las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, + \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, - \, </pre> \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Teniendo en cuenta que $\mathrm{sen}^2 \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, + \, \mathrm{cos}^2 \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, 1$ , deducimos que:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 2 \cdot \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, - \, \left( \, 1 \, - \, \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \right) \, = \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) </pre> \right) \, - \, 1$

Según lo que se explica en la sección sobre razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, + \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, + \, </pre> \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Por tanto

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, 2 \cdot \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, 2 \cdot \mathrm{sen} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Si en las dos igualdades obtenidas:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{cos} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \, - \, 1 \\ & & \\ \mathrm{sen} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \end{array} </pre> \right.$

sustituimos $\alpha$ por $\frac{\alpha}{2}$ , obtenemos:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) \right) \, - \, 1 \\ & & \\ \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) </pre> \end{array} \right.$

Si consideramos el anterior par de igualdades como un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son $\mathrm{sen} \left( <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> \right)$ y $\mathrm{cos} \left( <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> \right)$ y resolvemos ese sistema de ecuaciones, se llega a las siguientes igualdades: