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Cálculo del rango de una matriz
De Wikillerato
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Definición de menor de una matriz
Se llama menor de orden k de una matriz
al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
filas y a k columnas de la matriz
.
En este determinante los elementos de
conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz
.
Es decir, si la fila de
en la que se encuentra
esta por encima de la fila de
en la que se encuentra
,
entonces, en los menores de
en los que aparezcan
y
,
la fila en la que se encuentra
va a estar por encima de la fila en la que se encuentra
.
Analogamente, si la columna de
en la que se encuentra
esta a la derecha de la columna de
en la que se encuentra
,
entonces, en los menores de
en los que aparezcan
y
,
la columna en la que se encuentra
va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra
.
Teorema
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.
Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son nulos.
Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite
calcular el rango de una matriz
independientemente de como sea la matriz
.
Calculo del rango de una matriz por menores
Sea
el orden de los menores de mayor orden de la matriz
.
es el número de filas o el número de columnas de
,
lo que sea mayor.
Empezando por
y continuando con
,
para cada valor de
se comprueba si algún menor de orden
es cero o no.
Si considerando distintos valores de
en este orden, encontramos que algún menor de orden
es distinto de cero, entonces el rango de
seria
,
en caso contrario el rango de
seria menor de
y habria que considerar un valor
una unidad menor
.
Si no encontramos ningun valor de
entero positivo y menor que
, tal que todos los menores de orden
de
sean cero,
entonces el rango de
es cero.
Ejemplo
Calculemos el determinante de la matriz
![\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
1 & 2 & 3
\\
2 & 4 & 6
\\
-1 & 0 & 5
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-2637e92125a23689f50f71bd8176eed5.png "\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
1 & 2 & 3
\\
2 & 4 & 6
\\
-1 & 0 & 5
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
En este caso
.
Comprobamos primero si todos los menores de orden
son nulos.
En este caso, solo hay un menor de orden 3,
,
por lo tanto, solo tenemos que
calcular un determinante de orden 3.
Como \,
\, todos los menores de orden 3 de
son cero, y por lo tanto pasamos a los menores de orden 3 - 1 = 2, y comprobamos
si todos ellos son nulos, o no.
tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de
ellos es distinto de cero.
Supongamos que calculamos estos menores en el siguiente orden:
- 1. primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
filas ( las de mas arriba ) y las primeras dos columnas ( las de mas a la
izquierda ) de
,
- 2 a continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la
derecha ) de
,
- 3 el tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las ultimas dos
filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la
derecha ) de
,
Procediendo asi, hubiesemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero
como el tercer menor es distinto de cero, concluimos que algún menor de orden 2
es distinto de cero y por el teorema anterior, el rango de
tiene que ser mayor que 2.
Como ya habiamos averiguado antes que el rango de
tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de
es 2.
