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Distribuciones continuas
De Wikillerato
Tabla de contenidos |
Función de densidad
Definición
Una función
es la función de densidad de una variable continua
si cumple:
1.
en todo
del intervalo en el que está definida.
2. El área total entre la curva y el eje de abscisas es uno.
3. La probabilidad de que la variable tome valores del intervalo
![\left[
</p>
<pre> \, x_i, \, x_j \,
</pre>
<p>\right]](/images/math/math-5ef5a7c0d5f00b1cc5478de6829dae57.png "\left[
</p>
<pre> \, x_i, \, x_j \,
</pre>
<p>\right]")
es el área bajo el trozo de curva correspondiente a dicho intervalo.
Ejemplo
La función de densidad de una variable aleatoria continua
, cuyos valores se distribuyen uniformemente en
![\left[
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]](/images/math/math-8e146dde08a38232680af38266cb8d8c.png "\left[
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]")
, se define de la siguiente manera:
![\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
\frac{1}{b \, - \, a} & \mathrm{si} & x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
\\
0 & \mathrm{si} & x \not\in \left[ \, a, \, b \, \right]
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-a38c11b7ce9efe7afb296be492f80d4d.png "\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
\frac{1}{b \, - \, a} & \mathrm{si} & x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
\\
0 & \mathrm{si} & x \not\in \left[ \, a, \, b \, \right]
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
Función de distribución
Definición
Una función
es la función de distribución de una variable aleatoria
si:
1. La derivada de
es la función de densidad de la variable
.
2.
es cero para todos los valores menores que el menor valor de la variable.
3.
es uno para todos los valores mayores que el mayor valor de la variable.
Ejemplo
La función de distribución de una variable aleatoria continua
, cuyos valores se distribuyen uniformemente en
, se define de la siguiente manera:
![\mathrm{F}\left( \, x \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
0 & \mathrm{si} & a > x
\\
\frac{x \, - \, a}{b \, - \, a} & \mathrm{si} & x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
\\
1 & \mathrm{si} & x > b
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-d2e97f0819c383cd83b8e0238b144ca5.png "\mathrm{F}\left( \, x \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
0 & \mathrm{si} & a > x
\\
\frac{x \, - \, a}{b \, - \, a} & \mathrm{si} & x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
\\
1 & \mathrm{si} & x > b
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
Distribución normal
Definición
Una variable aleatoria continua
sigue una distribución normal de media
y desviación tipica
, si verifica las siguientes condiciones:
1. El recorrido de la variable
es toda la recta real.
2. La función de densidad es de la siguiente forma:
La distribución normal describe fenómenos en cuyo resultado final interviene gran número de factores independientes entre sí. Las principales características de la función de densidad de la distribución normal son las siguientes:
1. Es simétrica respecto de la recta
, pues:
2. Posee un máximo en el punto de abscisa
, y no tiene mínimos.
3. Tiene dos puntos de inflexión en los puntos de abscisa
y
.
4. El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
Si la variable aleatoria
sigue una distribución normal de parámetros
y
, entonces:
1. La probabilidad de que
es 0,6825.
2. La probabilidad de que
es 0,9544.
3. La probabilidad de que
es 0,9973.
La distribución binomial se puede aproximar por la normal si se cumple que:
Ejemplo
La distribución normal estándar es la distribución normal con
y
.
Cuando estas condiciones se verifican la distribución normal se aproxima a la distribución normal de parametros:
