Introducción al cálculo diferencial

De Wikillerato

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Unido a la idea de integración, la derivación es una operación que se centra en tomar partes de un todo. En el caso que nos ocupa, la derivación, queremos tomar una parte ínfima de un todo muy grande. Uno de los ejemplos más ilustrativos de derivación (y de integración) son las derivadas aplicadas a la geometría. Imaginémonos una esfera con radio "r", además supongamos que es una esfera maciza. Mediante la fórmula del volumen de la esfera podemos saber cuántas unidades ocupan el espacio que encierra la esfera, pero ¿Y si solo quiero saber cuántas unidades hay en la capa exterior? Dicho de otro modo. Supongamos que tenemos una bola madera y quiero saber cuánto ocupa solo el barniz, un barniz tan fino como podamos imaginar, de hecho el barniz más fino que podamos imaginar. Un problema de esta índole se resuelve de manera intuitiva restando al volumen de la esfera original una esfera un poco (pero exactamente solo un poco) más pequeña. De este modo se vacía y solo queda una finísima capa (la más fina posible) de elementos que la engloban. Mediante derivación se puede resolver también el problema, derivando el volumen de una esfera se puede llegar a la "superficie". Entonces, si lo puedo hacer restando una esfera un poco más pequeña ¿Para qué es útil la derivación en este caso? Bueno, si se puede hacer restando una esfera pequeña es porque sabemos exactamente su fórmula para calcular su volumen, pero si no la sabemos mediante su derivada podemos conocer ese valor. Otra manera de ver las derivadas usando el mismo ejemplo de las esferas es como una manera de "bajar de dimensiones". Comenzamos otra vez con una fórmula que nos habla de un espacio en 3d, la fórmula del volumen de una esfera. Si la derivamos (con respecto a su radio) obtenemos otra fórmula que es precisamente la de la superficie de una esfera, es como si de medir volúmenes ahora pasáramos a medir áreas. Pero aun hay más, si esa fórmula de la superficie de una esfera, la volvemos a derivar (con respecto a su radio) lo que se obtiene es el parámetro de uno de los infinitos aros que componían la esfera, teniendo así un salto desde la 2ª dimensión que es área hasta una primera dimensión que es longitud. ¿Qué pasará si lo derivo otra ver (con respecto a su radio)? ¿Si una esfera se descompone en capas (como una cebolla), y esas capas finísimas de cebolla se descomponen en aros, en que se descomponen esos aros? Pues en puntos, nos queda el número de elementos que componen esa circunferencia. En el ejemplo anterior aparece la idea e "derivada respecto a su radio" y es que para derivar tiene que haber alguna variable que permita ser derivada, tiene que haber un valor que pueda cambiar porque sin el no hay derivación. En el tema de la esfera se habla de la derivada respecto a su radio, porque es ese radio el atributo que determina precisamente el tamaño de la esfera, pero si habláramos de un cubo irregular (de una caja de zapatos) tendríamos que derivar con respecto a sus tres variables, altura, anchura, y profundidad o dicho de otro modo, "X", "Y" y "Z". Derivaríamos en un función de una u otra variable para encontrar las superficies que quedarían en un imaginario y finísimo (infinitesimal, el más pequeño posible) de los cortes de una caja, en vertical en horizontal o en profanidad.