Problemas de ángulos

De Wikillerato

Tabla de contenidos

1 Ángulo entre dos rectas
- 1.1 Ejemplo
2 Ángulo entre dos planos
- 2.1 Ejemplo
3 Ángulo entre una recta y un plano
- 3.1 Ejemplo

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar $r$ y $s$ en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).

Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, $\alpha$ , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de $\alpha$ , $\pi - \alpha$ .

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ cuyos vectores directores son, respectivamente, $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ , se puede calcular con la siguiente fórmula:

$\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}$

Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas $r$ y $s$ .

En la fórmula anterior $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ denota el producto escalar de los vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ .

Ejemplo

Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

$r: \left\{ <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> \right.$

$s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos ( el plano $\pi_1$ de ecuación $ <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> $ y el plano $\pi_2$ de ecuación $0 = 2x - y + 4$ ).

Un vector director $\mathbf{v}$ de la recta $s$ es el vector que multiplica al parametro $t$ en su ecuación, es decir:

$\mathbf{v} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

Podemos obtener un vector director $\mathbf{u}$ de la recta $r$ multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano $\pi_1$ por un vector perpendicular al plano $\pi_2$ .

Un vector $\mathbf{n}_1$ perpendicular al plano $\pi_1$ lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de $\pi_1$ :

$\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)$

De la misma forma obtenemos un vector $\mathbf{n}_2$ perpendicular al plano $\pi_2$ :

$\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)$

El producto vectorial de ambos vectores, $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ es

$\mathbf{u} = \left| <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> \right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)$

donde

$\begin{array}{ll} <pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right) </pre> \end{array}$

El ángulo que forman las rectas $r$ y $s$ es, por tanto

$\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| <pre> \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, = 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} = 1.40 \text{ radianes} </pre> $

Ángulo entre dos planos

El ángulo que forman dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ cuyos vectores normales son, respectivamente, $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ es igual al ángulo que forman $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ , que se puede hallar calculando el arcocoseno de

$\frac{\left| \, \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 \, \right|}{\left| \, \mathbf{n}_1 \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{n}_2 \, \right|}}$

Ejemplo

Calculemos el ángulo entre los planos de ecuaciones:

$\begin{array}{lll} \pi_1: 2x - y + z & = & 1 \\ \pi_2: -x + 2y - z & = & 3 \end{array}$

Sus vectores normales son, respectivamente:

$\begin{array}{ll} <pre> \mathbf{n}_1 & = \left( \, 2, \, -1, \, 1 \, \right) \\ \mathbf{n}_2 & = \left( \, -1, \, 2, \, -1 \, \right) </pre> \end{array}$

Así

$\frac{\left| \, \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 \, \right|}{\left| \, <pre> \mathbf{n}_1 \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{n}_2 \, \right|}} </pre> = \frac{\left| \left( \, 2, \, -1, \, 1 \, \right) \cdot \left( \, -1, \, 2, <pre> \, -1 \, \right) \right|}{\left| \, \left( \, 2, \, -1, \, 1 \,\right) </pre> \right| \cdot \left| \left( \, -1, \, 2, \, -1 \, \right) \right|}} = \frac{-5}{6} $

Por lo tanto, el ángulo que forman ambos planos es

$\mathrm{arc} \cos \left( \, \frac{-5}{6} \, \right) = 2.56 \text{ radianes}$

Ángulo entre una recta y un plano

El ángulo $\alpha$ que forma una recta $r$ cuyo vector director es $\mathbf{u}$ y un plano $\pi$ cuyo ángulo normal es $\mathbf{n}$ es complementario al ángulo que forman $r$ y $\mathbf{n}$ .

Por lo tanto, se tiene que

$\cos \left( \, 90 - \alpha \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \mathbf{u} \, \right|}{\left| \, \mathbf{n} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}$

Ejemplo

Calculemos el ángulo $\alpha$ entre el plano $\pi$ de ecuación:

$0 = x + y + z$

y la recta $r$ de ecuación:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 4}{3} = \frac{z}{4}$

Un vector director de $r$ es $\left( \, 2, \, 3, \, 4 \, \right)$ y un vector normal de $\pi$ es $\left( \, 1, \, 1, \, 1 \, \right)$ , por lo tanto:

$\cos \left( \, \pi - \alpha \, \right) = \frac{\left( \, 1, \, 1, \, 1 \, <pre> \right)\cdot \left( \, 2, \, 3, \, 4 \, \right)}{\left| \left( \, 1, \, 1, \, 1 \, \right) \right| \cdot \left| \left( \, 2, \, 3, \, 4 \, \right) \right|} = \frac{9}{\sqrt{87}} </pre> $