Radicales

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Propiedades

Definición

Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función matemática función recíproca|recíproca.

Se puede anotar de las formas:

$y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ .

Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$ .

En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Cambiando de escala:

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: $\sqrt{x}$ en vez de $\sqrt[2]{x}$ .
La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencia:

$\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln {x}}{n}\right) = {e^{\frac {\ln x} n}}$ .

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en {0,+ ∞}. De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar $\sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x} ...$ a los números positivos.

Propiedades

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

$\sqrt[n]{a}$ = $\ a^{1/n}$ .

Ejemplo

$\sqrt[4]{x^3}$ = $\ x^{3/4}$ .

Raíz de un producto

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.

$\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ ;

con n distinto de cero (0).

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Ejemplo

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12$

El 3 elevado a la dos dentro de la raiz cuadrada puede simplificarce quedando 3

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}$ = $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ;

con n distinto de cero (0).

{{{2}}}

Ejemplo: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ = $\frac{3}{2}$

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

$\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}} = \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}}$ = $\frac{x}{y^3}$

Ejemplo

$(\sqrt[4]{a^2})^8 = (\ a^{2/4})^8$ = $\sqrt[4]{a^{16}}$

El tres elevado a las dos dentro de la raiz cuadrada puede simplificarce quedando 3

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ = $\sqrt[n \cdot m]{a}$ ;

con n y m distintos de cero (0).

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Ejemplo

$\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}$ = $\sqrt[27]{5}$

Como se indica con la igualdad $y = \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa.