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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad,
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==Definición de matriz==
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nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una
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matriz dada posee matriz inversa y calcularla.
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Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha
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matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad
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calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.
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Para una matriz cuadrada de orden 2, &nbsp;
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Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
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&nbsp;
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m \times n
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&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
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m
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&nbsp; filas y &nbsp;
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n
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&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
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A =
 
\left(
\left(
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\begin{array}[c]{cc}
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\begin{array}[c]{cccc}
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a_{11} & a_{12}
+
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
\\
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a_{21} & a_{22}
+
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
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\\
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a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
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\right)
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&nbsp; se llama determinante de &nbsp;
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La matriz &nbsp;
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A
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A
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&nbsp; al número real:
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&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
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\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
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&nbsp; donde
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\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
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\begin{array}[c]{l}
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\begin{array}{cc}
+
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
-
a_{11} & a_{12}
+
\\
\\
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a_{21} & a_{22}
+
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
\end{array}
-
\right|
+
\right.
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= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}
+
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Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
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a_{ij}
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&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
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&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
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&nbsp; el numero de columna.
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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m \times n
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&nbsp; se denota por:
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M_{m \times n}
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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n \times n
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M_n
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Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
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* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
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a_{ii}
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*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
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a_{ij}
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&nbsp; tales que &nbsp;
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i + j = n + 1
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[[Image:diagonales.gif]]
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Una '''matriz rectangular''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
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\left(
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m \neq n
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====Ejemplo: matriz rectangular====
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1 & -1 & ~~0
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2 & ~~3 & -1
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'''Matriz fila''' es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
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1 \times n
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====Ejemplo: matriz fila====
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
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''''Matriz columna'''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
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m \times 1
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====Ejemplo: matriz columna====
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\left(
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\begin{array}[c]{c}
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Una '''matriz nula''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
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por &nbsp;
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====Ejemplo: matriz nula====
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\begin{array}[c]{ccc}
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0 & 0 & 0
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0 & 0 & 0
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'''Matriz triangular superior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo: matriz triangular superior====
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
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1 & -1 & ~~0
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\\
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0 & ~~3 & -1
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\\
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0 & ~~0 & ~~2
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\end{array}
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'''Matriz triangular inferior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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situados por encima de la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo: matriz triangular inferior====
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
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2 & ~~0 & 0
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\\
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3 & -1 & 0
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\\
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1 & -1 & 3
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\end{array}
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\right)
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'''Matriz diagonal''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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no situados en la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo: matriz diagonal====
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
 +
~~2 & ~~0 & ~~0
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\\
 +
~~0 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & ~~0 & ~~3
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\end{array}
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\right)
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</math>
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</center>
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'''Matriz escalar''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
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de la diagonal principal son iguales.
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====Ejemplo: matriz escalar====
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<center>
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<math>
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\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
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2 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 2 & {0}
 +
\\
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{0} & {0} & 2
 +
\end{array}
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\right)
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</math>
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</center>
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'''Matriz unidad''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
 +
&nbsp;
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<math>
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</math>
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.
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<br/>
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====Ejemplo: matriz unidad====
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 +
<br/>
 +
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<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 1 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>

Revisión de 15:30 7 dic 2006

Tabla de contenidos

Definición de matriz


Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension   m \times n   a un conjunto de números reales dispuestos en   m   filas y   n   columnas de la siguiente forma  


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right)


La matriz   A   se puede designar tambien como   \quad A = \left( a_{ij} \right) \quad   donde


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{l} i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m \\ j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \end{array} </pre> <p>\right.


Un elemento generico de la matriz se designa por   a_{ij}   en el cual el subindice   i   representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice   j   el numero de columna.

El conjunto de matrices de dimension   m \times n   se denota por:


M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   n \times n ,   tambien llamadas de orden   n ,   se denota por:


M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  

a_{ii}  

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  

a_{ij}   tales que   i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   \left( </p> <pre> m \neq n </pre> <p>\right)


Ejemplo: matriz rectangular


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 2 & ~~3 & -1 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension   1 \times n


Ejemplo: matriz fila


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 3 & 5 \end{array} \right) </pre> <p>


'Matriz columna' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   m \times 1


Ejemplo: matriz columna


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{c} -1 \\ ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   0 .


Ejemplo: matriz nula


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo: matriz triangular superior


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 0 & ~~3 & -1 \\ 0 & ~~0 & ~~2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo: matriz triangular inferior


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & ~~0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.


Ejemplo: matriz diagonal


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} ~~2 & ~~0 & ~~0 \\ ~~0 & -1 & ~~0 \\ ~~0 & ~~0 & ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.


Ejemplo: matriz escalar


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & {0} & {0} \\ {0} & 2 & {0} \\ {0} & {0} & 2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos   1 .


Ejemplo: matriz unidad


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> <p>

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