Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:22 16 oct 2012) (editar) (deshacer)
 
(90 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad,
+
__TOC__
-
nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una
+
-
matriz dada posee matriz inversa y calcularla.
+
-
Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha
+
==Definición de matriz==
-
matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad
+
-
calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.
+
-
Para una matriz cuadrada de orden 2,  
+
<br/>
 +
 
 +
Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
 +
 
 +
<br/>
 +
Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
 +
<math>
 +
m
 +
</math>
 +
&nbsp; filas y &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
A =
 
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cccc}
-
a_{11} & a_{12}
+
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
\\
-
a_{21} & a_{22}
+
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama determinante de &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; al número real:
+
&nbsp; se puede denotar también como &nbsp;
 +
<math>
 +
\quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad
 +
</math>
 +
&nbsp; donde
<br/>
<br/>
Línea 28: Línea 58:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
+
\left\{
-
\left|
+
\begin{array}[c]{l}
-
\begin{array}{cc}
+
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
-
a_{11} & a_{12}
+
\\
\\
-
a_{21} & a_{22}
+
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
\end{array}
-
\right|
+
\right.
-
= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
 +
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math> designa un elemento generico de la matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
, &nbsp; el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
 +
<br/>
 +
 +
==Tipos de matrices==
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matriz cuadrada===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de
 +
columnas.
 +
 +
<br/>
 +
 +
En las matrices cuadradas tenemos:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
&bull;
 +
</span>
 +
la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ii}
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
&bull;
 +
</span>
 +
la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math>
 +
&nbsp; tales que &nbsp;
 +
<math>
 +
i + j = n + 1
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
[[Image:diagonales.gif]]
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices rectangulares===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz rectangular''''' es aquella que tiene distinto número de filas
 +
que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
2 & ~~3 & -1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices filas===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz fila''''' es una matriz con una sola fila. Su dimensión es &nbsp;
 +
<math>
 +
1 \times n
 +
</math>
 +
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
-1 & 3 & 5
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices columna===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz columna''''' es una matriz rectangular con una sola columna. Su
 +
dimensión es &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times 1
 +
</math>
 +
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
-1
 +
\\
 +
~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices nulas===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz nula''''' es una matriz cuyos elementos son todos nulos. Se denota
 +
por &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{0}_{m \times n}
 +
</math>
 +
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Donde &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; es la dimensión de la matriz.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
0 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices triangulares superiores===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz triangular superior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
0 & ~~3 & -1
 +
\\
 +
0 & ~~0 & ~~2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices triangulares inferiores===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz triangular inferior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo ====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & ~~0 & 0
 +
\\
 +
3 & -1 & 0
 +
\\
 +
1 & -1 & 3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices diagonales===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz diagonal''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
NO situados en la diagonal principal son ceros.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
~~2 & ~~0 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & ~~0 & ~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices escalares===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz escalar''''' es una matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 2 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Matrices unidad o identidad===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una '''''matriz unidad o identidad''''' es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son
 +
todos 1.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 1 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Definición de matriz


Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.


Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión   m \times n   a un conjunto de números reales dispuestos en   m   filas y   n   columnas de la siguiente forma  



\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right)


La matriz   \mathbf{A}   se puede denotar también como   \quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad   donde


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{l} i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m \\ j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \end{array} </pre> <p>\right.


a_{ij} designa un elemento generico de la matriz   \mathbf{A} ,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.

Tipos de matrices


Matriz cuadrada


Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.


En las matrices cuadradas tenemos:


• la diagonal principal formada por los elementos de la forma   a_{ii}  

• la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma   a_{ij}   tales que   i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Matrices rectangulares


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 2 & ~~3 & -1 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices filas


Una matriz fila es una matriz con una sola fila. Su dimensión es   1 \times n .


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 3 & 5 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices columna


Una matriz columna es una matriz rectangular con una sola columna. Su dimensión es   m \times 1 .


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{c} -1 \\ ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices nulas


Una matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos nulos. Se denota por   \mathbf{0}_{m \times n} .


Donde   m \times n   es la dimensión de la matriz.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices triangulares superiores


Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 0 & ~~3 & -1 \\ 0 & ~~0 & ~~2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices triangulares inferiores


Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & ~~0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices diagonales


Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los terminos NO situados en la diagonal principal son ceros.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} ~~2 & ~~0 & ~~0 \\ ~~0 & -1 & ~~0 \\ ~~0 & ~~0 & ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices escalares


Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & {0} & {0} \\ {0} & 2 & {0} \\ {0} & {0} & 2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matrices unidad o identidad


Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> <p>


Obtenido de "http://wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html"
   
 
ASIGNATURAS
 MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.