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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Operaciones con matrices)
(Definición de matriz y tipos de matrices)
Línea 1: Línea 1:
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==Definición de matriz y tipos de matrices==
 
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Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
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==Producto de matrices==
==Producto de matrices==

Revisión de 22:18 28 nov 2006

Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
A 
  se puede designar tambien como   
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Un elemento generico de la matriz se designa por   
a_{ij}
  en el cual el subindice   
i
  representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice   
j
  el numero de columna.

El conjunto de matrices de dimension   
m \times n
  se denota por:



M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   
n \times n
,   tambien llamadas de orden   
n
,   se denota por:



M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  


a_{ii}
 

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  


a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1



\begin{array}[c]{cc}
</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{cccc}
     \mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} &  a_{14}
     \\
     a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} &  a_{24}
     \\
     a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} &  a_{34}
     \\
     a_{41} & a_{42} & a_{43} &  \mathbf{a_{44}}
   \end{array}
 \right)
 &
 \left(
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & a_{12} & a_{13} &  \mathbf{a_{14}}
     \\
     a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} &  a_{24}
     \\
     a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} &  a_{34}
     \\
     \mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} &  a_{44}
   \end{array}
 \right)
   \\
   & 
   \\
   \makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}
</pre>
<p>\end{array}


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   
\left(
</p>
<pre> m \neq n
</pre>
<p>\right)

Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     2 & ~~3 & -1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension   
1 \times n
Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   
m \times 1
  Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   
0
. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos   
1
  . Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Tabla de contenidos

Producto de matrices


El producto de dos matrices   
A = \left( a_{ij} \right)
  de dimension   
m \times n
  y   
B = \left( b_{ij} \right)
  de dimension   
n \times p
,   es la matriz   
A \cdot B
  dada por:



A \cdot B = \left( c_{ij} \right)


con



</p>
<pre>c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
</pre>
<p>


Es decir, cada elemento   
c_{ik}
  se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz. Ejemplo:



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   1 & 2 & 3 
   \\
   4 & 5 & 6 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   ~~7 & ~~8
   \\
   ~~9 & ~~0
   \\
   -1 & -2
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
   \\
   4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Propiedades:


  • El producto de matrices cuadradas es asociativo:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B \cdot C
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> A \cdot B
</pre>
<p>\right)
\cdot C


  • El producto de matrices cuadradas de orden  


n
  posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad   
I
  de orden   
n
  ya que:



A \cdot I = I \cdot A = A


  • El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B + C
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>= A \cdot B + A \cdot C
</pre>
<p>


Transposicion de matrices. Matriz simetrica y antisimetrica


Se llama matriz traspuesta de una matriz   
A
  de dimension   
m \times n
,   a la matriz que se obtiene al cambiar en   
A
  las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por   
A^t
  y su dimension es   
n \times m


Propiedades:


  • 
\left( \, A^t \, \right)^t = A

    • 
\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t
 

      • 
\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t 
 

        • 
\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot  A^t 
 


          Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada   
A
  que coincide con su transpuesta:   
A = A^t
.   En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son iguales. Ejemplo:


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   1 & 2 & 3 
   \\
   2 & 4 & 5
   \\
   3 & 5 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada   
A
  que coincide con la opuesta de su transpuesta:   
A = -A^t
.   En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos. Ejemplo:


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   ~~ 0 & ~~2 & -3 
   \\
   -2 & ~~0 & ~~5
   \\
   ~~ 3 & -5 & ~~0
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          Matriz inversa


          La matriz inversa de una matriz cuadrada   
A
  de orden   
n,
  es la matriz   
, A^{-1},
  de orden   
n
  que verifica:


          
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


          Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


          Calculo de la matriz inversa


          Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


          Mediante la definicion


          Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz


          
A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          hacemos


          
A^{-1} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a & b
   \\
   c & d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          como


          
I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a & b
   \\
   c & d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          Operando:


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a + 2c & b + 2d
   \\
   3a + 7c & 3b + 7d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a + 2c & = & 1
   \\
   3a + 7c & = & 0
   \\
   b + 2d & = & 0
   \\
   3b + 7d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


          
\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a & = & 7
   \\
   b & = & -2
   \\
   c & = & -3
   \\
   d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


          Método de Gauss-Jordan


          La inversa de una matriz regular   
A
  se calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, A \, \left| \, I \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales por filas en la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)

          Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

          1. Intercambiar las filas  

          
i
  y   
j,
  que designaremos por   
F_i \longrightarrow F_j
 

          1. Multiplicar la fila  

          
i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   
F_i \tau k \cdot F_i

          1. Multiplicar la fila  

          
i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   
F_i \tau k \cdot F_i

          1. Sumar las filas  

          
i
  y   
j,
 , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   
i
  o   
j
 . Lo designamos por   
F_i
  o   
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j


          Rango de una matriz


          En la matriz


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          Se dice que las filas  


          
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t


          
\left(
</p>
<pre> \, F_i =
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \, 
</pre>
<p>\right)
\right)


          son dependientes si existen números   
\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R
  tales que


          
F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t


          En caso contrario, se dice que las filas   
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t 
  son linealmente independientes.

          El rango de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes que tiene esa matriz.

             
 
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