Discontinuidades
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==Definición== | ==Definición== | ||
- | Una función es '''''discontinua''''' en | + | <br/> |
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- | x \, = \, x_0 | + | Una función es '''''discontinua''''' en <math> x \, = \, x_0 </math> si <math> \mathrm{f} </math> NO es continua en <math> x \, = \, x_0 </math>. |
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- | + | Las discontinuidades se clasifican en: | |
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+ | # 1. discontinuidades evitables, | ||
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+ | # 2. discontinuidades de primera especie, y | ||
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+ | # 3. discontinuidades de segunda especie. | ||
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+ | Veamos, a continuación, cada uno de estos tipos de discontinuidad. | ||
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+ | ==Discontinuidad evitable== | ||
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | tiene una '''''discontinuidad evitable''''' en | + | tiene una '''''discontinuidad evitable''''' en |
<math> | <math> | ||
x \, = \, x_0 | x \, = \, x_0 | ||
</math> | </math> | ||
- | cuando existe el limite de la función | + | cuando |
+ | | ||
+ | <math> | ||
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+ | NO es continua en | ||
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+ | x \, = \, x_0 | ||
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+ | | ||
+ | pero existe el limite de la función | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} | ||
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+ | cuando | ||
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+ | x | ||
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+ | tiende a | ||
+ | <math> | ||
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+ | y este limite es finito. | ||
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+ | ===Nota sobre terminologia=== | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | Cuando decimos que un limite existe queremos decir que el limite es un número | ||
+ | real, | ||
+ | <math> | ||
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+ | -\infty | ||
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- | + | ==Ejemplo== | |
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- | no es continua en | + | no es continua en |
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x \, = \, 1 | x \, = \, 1 | ||
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\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | existe, la discontinuidad que | + | existe y es finito, la discontinuidad que |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | tiene en | + | tiene en |
<math> | <math> | ||
x \, = \, 1 | x \, = \, 1 | ||
Línea 102: | Línea 148: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | ==Discontinuidad de primera especie== | |
<br/> | <br/> | ||
- | Una función presenta una '''''discontinuidad de primera especie''''' en | + | Una función |
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} | ||
+ | </math> | ||
+ | presenta una '''''discontinuidad de primera especie''''' en | ||
<math> | <math> | ||
x \, = \, x_0 | x \, = \, x_0 | ||
</math> | </math> | ||
- | si | + | si ambos limites laterales de |
<math> | <math> | ||
- | f | + | \mathrm{f} |
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en | en | ||
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x \, = \, x_0 | x \, = \, x_0 | ||
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- | existen | + | existen y si se verifica alguna de las siguientes condiciones: |
+ | |||
+ | # 1. o bien, dichos limites laterales son finitos pero distintos: | ||
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- | ==== | + | # 2. o bien, alguno de los dos limites laterales no es finito. |
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+ | En el primer caso, cuando ambos limites laterales son distintos pero finitos, el | ||
+ | valor absoluto de la diferencia entre ambos limites | ||
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+ | \lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, - \, | ||
+ | \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \right| | ||
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+ | se conoce como el '''''salto de la discontinuidad'''''. | ||
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+ | Si la función | ||
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+ | tiene una discontinuidad de primera especie en | ||
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+ | x = x_0 | ||
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+ | pero dicha discontinuidad NO es de salto finito, entonces la gráfica de | ||
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+ | tiene una [[Asintotas#Asintotas verticales|asintota vertical]] de ecuación | ||
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+ | x = x_0 | ||
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+ | ===Ejemplo=== | ||
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- | no es continua en | + | no es continua en |
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x \, = \, 1 | x \, = \, 1 | ||
Línea 184: | Línea 272: | ||
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- | Como ambos limites laterales existen, la discontinuidad que | + | Como ambos limites laterales existen, pero son distintos, la discontinuidad que |
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | tiene en | + | tiene en |
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x \, = \, 1 | x \, = \, 1 | ||
Línea 196: | Línea 284: | ||
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- | + | El salto de la discontinuidad es | |
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+ | 2 - 0 = 2 | ||
+ | </math> | ||
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- | + | ===Ejemplo=== | |
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+ | Gráfica de una función con una discontinuidad de primera especie de salto finito en | ||
<math> | <math> | ||
- | f | + | x = 5 |
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+ | [[Imagen:primeraEspecie.png]] | ||
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+ | ==Discontinuidad de segunda especie== | ||
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+ | \mathrm{f} | ||
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- | + | presenta una '''''discontinuidad de segunda especie''''' en | |
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x \, = \, x_0 | x \, = \, x_0 | ||
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- | si | + | si NO existe alguno de los limites laterales de |
<math> | <math> | ||
- | f | + | \mathrm{f} |
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- | + | en | |
+ | <math> | ||
+ | x_0 | ||
+ | </math>. | ||
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- | + | ===Ejemplo=== | |
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<math> | <math> | ||
- | \mathrm{f} \left( \, x | + | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \sqrt{x} |
- | + | ||
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Línea 243: | Línea 351: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | no es continua en | + | no es continua en |
<math> | <math> | ||
x \, = \, 0 | x \, = \, 0 | ||
Línea 264: | Línea 372: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x | + | \not \exists \lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 270: | Línea 378: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | Como este limite por la izquierda no existe | + | Como este limite por la izquierda no existe, |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | tiene en | + | tiene en |
<math> | <math> | ||
- | x \, = \, | + | x \, = \, 0 |
</math> | </math> | ||
una discontinuidad de segunda especie. | una discontinuidad de segunda especie. | ||
<br/> | <br/> | ||
+ | |||
+ | No existe | ||
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+ | <center> | ||
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+ | \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} | ||
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+ | porque | ||
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+ | \sqrt{x} | ||
+ | </math> | ||
+ | no esta definida para valores negativos de | ||
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+ | x | ||
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+ | ===Ejemplo=== | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | Gráfica de una función con una discontinuidad de segunda especie en | ||
+ | <math> | ||
+ | x = 5 | ||
+ | </math>: | ||
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+ | <center> | ||
+ | [[Imagen:segundaEspecie.png]] | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | [[Category:Matemáticas]] |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Definición
Una función es discontinua ensi
NO es continua en
.
Tipos de discontinuidades
Las discontinuidades se clasifican en:
- 1. discontinuidades evitables,
- 2. discontinuidades de primera especie, y
- 3. discontinuidades de segunda especie.
Veamos, a continuación, cada uno de estos tipos de discontinuidad.
Discontinuidad evitable
Una función
tiene una discontinuidad evitable en
cuando
NO es continua en
pero existe el limite de la función
cuando
tiende a
y este limite es finito.
Nota sobre terminologia
Cuando decimos que un limite existe queremos decir que el limite es un número
real,
o
.
Ejemplo
La función
definida por:
no es continua en
porque
mientras que
, es decir:
Como
existe y es finito, la discontinuidad que
tiene en
es evitable.
Discontinuidad de primera especie
Una función
presenta una discontinuidad de primera especie en
si ambos limites laterales de
en
existen y si se verifica alguna de las siguientes condiciones:
- 1. o bien, dichos limites laterales son finitos pero distintos:
- 2. o bien, alguno de los dos limites laterales no es finito.
En el primer caso, cuando ambos limites laterales son distintos pero finitos, el valor absoluto de la diferencia entre ambos limites
se conoce como el salto de la discontinuidad.
Si la función
tiene una discontinuidad de primera especie en
pero dicha discontinuidad NO es de salto finito, entonces la gráfica de
tiene una asintota vertical de ecuación
.
Ejemplo
La función
definida por:
no es continua en
porque
no existe, al ser ambos limites laterales distintos:
Como ambos limites laterales existen, pero son distintos, la discontinuidad que
tiene en
es de primera especie.
El salto de la discontinuidad es
Ejemplo
Gráfica de una función con una discontinuidad de primera especie de salto finito en
:
Discontinuidad de segunda especie
Una función
presenta una discontinuidad de segunda especie en
si NO existe alguno de los limites laterales de
en
.
Ejemplo
La función
definida por:
no es continua en
porque
no existe, al no existir el limite por la izquierda de
cuando
:
Como este limite por la izquierda no existe,
tiene en
una discontinuidad de segunda especie.
No existe
porque
no esta definida para valores negativos de
.
Ejemplo
Gráfica de una función con una discontinuidad de segunda especie en
: