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Elipse

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 23:09 20 dic 2006

Definición


Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.


Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano,   
F1
  y   
F2
, es constante. Veamos los elementos en el siguiente dibujo


Imagen:elipse2.png




Imagen:elipse4.png


Los puntos fijos   
F1
  y   
F2
  se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.


Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento   
\overline{F1F2}
. El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.


Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos,   
A
,   
B
,   
C
  y   
D
  que reciben el nombre de vértices .


La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por   
2c
. La mitad de esta distancia,   
c
, es la semidistancia focal.


Para cualquier punto   
P
  de la elipse, se verifica que   
\overline{PF1} \, + \, \overline{PF2}
  es constante. Llamamos a esta constante   
2a
.


El segmento   
\overline{AB}
  es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es   
2a
. La mitad de esta distancia,   
a
, se denomina semieje mayor.


El segmento   
\overline{CD}
  es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por   
2b
. La mitad de esta distancia,   
b
, es el semieje menor.


En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta distancia y esta utilizando una cuerda unida por sus extremos: tensa la cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta. El jardinero dibuja la elipse creando un surco con la vara mientras se asegura que la cuerda siempre forma un triangulo:


Imagen:elipseDeJardinero.jpg


Ecuación


Supongamos que el origen delenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje   
X
, entonces los focos son:



F1 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, -c, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad
F2 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, c, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)


La condición que ;a suma de la distancias de un punto cuaquiera de la elipse,   
P \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, x, \, y \,
</pre>
<p>\right)
  a los focos es   
2a
  se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:



\sqrt
{
</p>
<pre> \left(
   \, x \, + \, c \,
 \right)
 ^2 \, + \, y^2
</pre>
<p>}
\, + \,
\sqrt
{
</p>
<pre> \left(
   \, x \, - \, c \,
 \right)
 ^2 \, + \, y^2
</pre>
<p>}
\, = \, 2a

<br/

Igualdad que es equivalente a esta otra:



\frac{x^2}{a^2} \, + \, \frac{y^2}{b^2} \, = \, 1


que constituye la ecuación reducida de la elipse.

Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos   
C
,   
B
  y al centro, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:



a^2 \, = \, b^2 \, + \, c^2


La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:



e \, = \, \frac{c}{a}


¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona? Quizas la relación este en que el circulo es lo "normal", mientras que el que no sea normal es excentrico.

Ejemplo


   
 
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