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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 190.136.113.36 (Talk); a la última edición de Jaimecarrion)
Revisión actual (11:42 4 sep 2012) (editar) (deshacer)
 
(120 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 5: Línea 5:
<br/>
<br/>
-
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
+
La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
&nbsp; de orden &nbsp;
&nbsp; de orden &nbsp;
Línea 13: Línea 13:
n,
n,
</math>
</math>
-
&nbsp; es la matriz, &nbsp;
+
&nbsp; es la matriz cuadrada &nbsp;
<math>
<math>
-
A^{-1}
+
\mathbf{A}^{-1}
</math>
</math>
-
, &nbsp; de orden &nbsp;
+
&nbsp; tambien de orden &nbsp;
<math>
<math>
n
n
Línea 27: Línea 27:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 35: Línea 35:
donde &nbsp;
donde &nbsp;
<math>
<math>
-
I
+
\mathbf{I}
</math>
</math>
-
&nbsp; es la matriz identidad de orden &nbsp;
+
&nbsp; es la
 +
[[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden &nbsp;
<math>
<math>
n
n
Línea 45: Línea 46:
<br/>
<br/>
-
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
+
==Existencia de la matriz inversa==
-
singulares.
+
<br/>
<br/>
-
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
+
Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO
 +
tienen inversa, '''''singulares'''''.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Propiedades==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
<br/>
<br/>
Línea 56: Línea 73:
1. &nbsp; Si existe,
1. &nbsp; Si existe,
&nbsp; <math>
&nbsp; <math>
-
A^{-1}
+
\mathbf{A}^{-1}
</math>
</math>
&nbsp; es única.
&nbsp; es única.
Línea 65: Línea 82:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
A^{-1}
+
\mathbf{A}^{-1}
\right)
\right)
-
^{-1} = A
+
^{-1} = \mathbf{A}
</math>
</math>
Línea 75: Línea 92:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
A \cdot B
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
\right)
\right)
-
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
+
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
</math>
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
4. El determinante de una matriz regular
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
es el inverso del determinante de su matriz inversa:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
Línea 84: Línea 117:
==Cálculo de la matriz inversa==
==Cálculo de la matriz inversa==
 +
<br/>
-
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
+
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
<br/>
<br/>
-
===Mediante la definicion===
+
===Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales===
<br/>
<br/>
Línea 99: Línea 133:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A =
+
\mathbf{A} =
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 2
+
1 & 2
-
\\
+
\\
-
3 & 7
+
3 & 7
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 118: Línea 152:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A^{-1} =
+
\mathbf{A}^{-1} =
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a & b</math>
+
a & b
 +
\\
 +
c & d
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
</center>
</center>
Línea 132: Línea 171:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
+
I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 2
+
1 & 2
-
\\
+
\\
-
3 & 7
+
3 & 7
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
\cdot
\cdot
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a & b
+
a & b
-
\\
+
\\
-
c & d
+
c & d
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
=
=
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 0
+
1 & 0
-
\\
+
\\
-
0 & 1
+
0 & 1
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 168: Línea 207:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a + 2c & b + 2d
+
a + 2c & b + 2d
-
\\
+
\\
-
3a + 7c & 3b + 7d
+
3a + 7c & 3b + 7d
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
=
=
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 0
+
1 & 0
-
\\
+
\\
-
0 & 1
+
0 & 1
-
\end{array}
+
\end{array}
\right)
\right)
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow
\left\{
\left\{
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
a + 2c & = & 1
+
a + 2c & = & 1
-
\\
+
\\
-
3a + 7c & = & 0
+
3a + 7c & = & 0
-
\\
+
\\
-
b + 2d & = & 0
+
b + 2d & = & 0
-
\\
+
\\
-
3b + 7d & = & 1
+
3b + 7d & = & 1
-
\\
+
\\
-
\end{array}
+
\end{array}
\right.
\right.
</math>
</math>
Línea 203: Línea 242:
<math>
<math>
\Rightarrow \left\{
\Rightarrow \left\{
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
a & = & 7
+
a & = & 7
-
\\
+
\\
-
b & = & -2
+
b & = & -2
-
\\
+
\\
-
c & = & -3
+
c & = & -3
-
\\
+
\\
-
d & = & 1
+
d & = & 1
-
\\
+
\\
-
\end{array}
+
\end{array}
\right.
\right.
</math>
</math>
Línea 219: Línea 258:
<br/>
<br/>
-
===Método de Gauss-Jordan===
+
===Por el método de Gauss===
<br/>
<br/>
Línea 225: Línea 264:
La inversa de una matriz regular &nbsp;
La inversa de una matriz regular &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
+
&nbsp; se puede calcular transformando la matriz &nbsp;
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, A \, \left| \, I \, \right.
+
\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; mediante operaciones
+
&nbsp; mediante operaciones elementales con las filas de la matriz &nbsp;
-
elementales por filas en la matriz &nbsp;
+
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
+
\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 243: Línea 281:
<br/>
<br/>
-
====Operaciones elementales por filas en una matriz====
+
====Operaciones elementales con las filas de una matriz====
<br/>
<br/>
-
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
+
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en
 +
el metodo de Gauss son las siguientes:
<br/>
<br/>
Línea 253: Línea 292:
1. Intercambiar las filas &nbsp;
1. Intercambiar las filas &nbsp;
<math>
<math>
-
i
+
F_i
</math>
</math>
&nbsp; y &nbsp;
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
j,
+
F_j
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; que designaremos por &nbsp;
+
&nbsp; Esta operación la representaremos así
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
F_i \longrightarrow F_j
+
F_i \longleftrightarrow F_j
</math>
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
Línea 268: Línea 312:
2. Multiplicar la fila &nbsp;
2. Multiplicar la fila &nbsp;
<math>
<math>
-
i
+
F_i
</math>
</math>
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
+
&nbsp; por el número &nbsp;
<math>
<math>
-
k \neq 0
+
s \neq 0
</math>
</math>
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
+
&nbsp; y sustituir &nbsp;
<math>
<math>
-
F_i \to k \cdot F_i
+
F_i
</math>
</math>
 +
&nbsp; por &nbsp;
 +
<math>
 +
s \cdot F_i
 +
</math>.
 +
&nbsp; Esta operación la representamos de la
 +
siguiente forma:
<br/>
<br/>
-
3. Sumar la fila &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
i
+
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
</math>
</math>
-
&nbsp; con la fila &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
3. Sumar las filas &nbsp;
<math>
<math>
-
j
+
F_i
</math>
</math>
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
F_j
 +
</math>,
 +
&nbsp; multiplicadas por sendos números,
<math>
<math>
-
F_i \to \ F_i + F_j
+
s
</math>
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
t
 +
</math>,
 +
y sustituir &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i
 +
</math>
 +
&nbsp; por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
<br/>
<br/>
-
4. Sumar las filas &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
i
+
s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Notese que el segundo tipo de operación, &nbsp;
<math>
<math>
-
j,
+
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
 +
</math>,
 +
&nbsp;
 +
es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
t = 0
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Mediante la matriz adjunta===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La matriz inversa de una matriz regular &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
+
&nbsp; se puede calcular mediante la expresión:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
 +
\left[
 +
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
 +
\right]
 +
^t
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
donde &nbsp;
<math>
<math>
-
i
+
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; o &nbsp;
+
&nbsp; es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de &nbsp;
<math>
<math>
-
j
+
\mathbf{A}
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
====Definición de matriz adjunta====
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;
+
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
<math>
<math>
-
F_i
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; o &nbsp;
+
&nbsp; y se denota por &nbsp;
<math>
<math>
-
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
+
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
 +
</math>.
 +
&nbsp; El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
</math>
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
A_{ij}
 +
</math>,
 +
&nbsp; el adjunto del elemento de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
en su fila i-esima y columna j-esima
 +
<math>
 +
\left( \, a_{ij} \, \right)}
 +
</math>.
-
==Ejercicios resueltos==
+
<br/>
-
<br>
+
 
-
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=46 Producto e invertibilidad de matrices]
+
====Ejemplo====
<br/>
<br/>
 +
 +
Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores
 +
complementarios]] de los elementos de la matriz
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{A} =
 +
\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
1 & 2 & 3
 +
\\
 +
4 & 5 & 6
 +
\\
 +
7 & 8 & 0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
son
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{11} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
5 & 6
 +
\\
 +
8 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{12} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
4 & 6
 +
\\
 +
7 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{13} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
4 & 5
 +
\\
 +
7 & 8
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{21} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
2 & 3
 +
\\
 +
8 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{22} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 3
 +
\\
 +
7 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{23} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
7 & 8
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{31} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
2 & 3
 +
\\
 +
5 & 6
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{32} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 3
 +
\\
 +
4 & 6
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{33} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
4 & 5
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Los adjuntos de los elementos de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; son:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccccccccccc}
 +
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
 +
\\
 +
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
 +
\\
 +
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
 +
&\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
La matriz adjunta de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; es
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
 +
\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
-48 & ~42 & -3
 +
\\
 +
~24 & -21 & ~6
 +
\\
 +
~-3 & ~~6 & -3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
El determinante de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13}
 +
\cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \,
 +
-3 \, \right) = 25
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Por lo tanto, la matriz inversa de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
es
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
 +
\left[
 +
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
 +
\right]
 +
^t =
 +
\frac{1}{25} \cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
-48 & ~24 & -3
 +
\\
 +
~42 & -21 & ~6
 +
\\
 +
~-3 & ~~6 & -3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
==Ejercicios resueltos==
 +
 +
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Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  de orden   
n,
  es la matriz cuadrada   
\mathbf{A}^{-1}
  tambien de orden   
n
  que verifica:



\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   
\mathbf{I}
  es la matriz identidad de orden   
n
.


Existencia de la matriz inversa


Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.


Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.


Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.


Propiedades


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:


1.   Si existe,   
\mathbf{A}^{-1} 
  es única.


2.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A}^{-1} 
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{A}


3.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}


4. El determinante de una matriz regular 
\mathbf{A}
es el inverso del determinante de su matriz inversa:



\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}


Cálculo de la matriz inversa


La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:


Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales


Ejemplo



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)


hacemos



\mathbf{A}^{-1} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)


como



I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)


Operando:



\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.



\Rightarrow \left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.


Por el método de Gauss


La inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se puede calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales con las filas de la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)


Operaciones elementales con las filas de una matriz


Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
F_i
  y   
F_j
.   Esta operación la representaremos así



F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
F_i
  por el número   
s \neq 0
  y sustituir   
F_i
  por   
s \cdot F_i
.   Esta operación la representamos de la siguiente forma:



s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   
F_i
  y   
F_j
,   multiplicadas por sendos números, 
s
y 
t
, y sustituir   
F_i
  por el resultado de esta suma. Lo representamos así:



s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   
t = 0
.


Mediante la matriz adjunta


La matriz inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se puede calcular mediante la expresión:



\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t


donde   
</p>
<pre>\makebox{Adj}
\left(
  \, \mathbf{A} \, 
\right)
</pre>
<p>   es la matriz adjunta de   
\mathbf{A}
.


Definición de matriz adjunta


La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  se llama matriz adjunta de   
\mathbf{A}
  y se denota por   
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
.   El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de 
\mathbf{A}
es   
A_{ij}
,   el adjunto del elemento de 
\mathbf{A}
en su fila i-esima y columna j-esima 
\left( \, a_{ij} \, \right)}
.


Ejemplo


Los menores complementarios de los elementos de la matriz



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


\begin{array}{ccc}
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


\begin{array}{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


Los adjuntos de los elementos de   
\mathbf{A}
  son:



\begin{array}{ccccccccccc}
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
\\
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
\\
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
&\end{array}


La matriz adjunta de   
\mathbf{A}
  es



\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-48 & ~42 & -3
\\
~24 & -21 & ~6
\\
~-3 & ~~6 & -3
\end{array}
\right)


El determinante de 
\mathbf{A}
lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:



\left| \mathbf{A} \right|  = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12}  \cdot A_{12} + a_{13}
\cdot A_{13} = 1 \cdot  \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42  + 3 \cdot \left( \,
</p>
<pre> -3 \, \right) = 25
</pre>
<p>


Por lo tanto, la matriz inversa de 
\mathbf{A}
es


\mathbf{A}^{-1} =  \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
</p>
<pre>\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t =
\frac{1}{25} \cdot
\left(
 \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-48 & ~24 & -3
\\
~42 & -21 & ~6
\\
~-3 & ~~6 & -3
\end{array}
\right)

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