Matriz inversa

De Wikillerato

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-	Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension	+	__TOC__
-	 	+
-	<math>	+
-	m \times n	+
-	</math>	+
-	&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;	+
-	<math>	+
-	m	+
-	</math>	+
-	&nbsp; filas y &nbsp;	+
-	<math>	+
-	n	+
-	</math>	+
-	&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;	+
-	<br/>	+	==Definición==
-		+
-	<center>	+
-	<math>	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{cccc}	+
-	a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}	+
-	\\	+
-	a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}	+
-	\\	+
-	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots	+
-	\\	+
-	a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	</math>	+
-	</center>	+
	<br/>		<br/>
-	La matriz &nbsp;	+	La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] &nbsp;
	<math>		<math>
-	A	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;	+	&nbsp; de orden &nbsp;
	<math>		<math>
-	\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad	+	n,
	</math>		</math>
-	&nbsp; donde	+	&nbsp; es la matriz cuadrada &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	<center>	+
	<math>		<math>
-	\left\{	+	\mathbf{A}^{-1}
-	\begin{array}[c]{l}	+
-	i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m	+
-	\\	+
-	j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n	+
-	\end{array}	+
-	\right.	+
	</math>		</math>
-	</center>	+	&nbsp; tambien de orden &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;	+
	<math>		<math>
-	a_{ij}	+	n
	</math>		</math>
-	&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;	+	&nbsp; que verifica:
-	<math>	+
-	i	+
-	</math>	+
-	&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;	+
-	<math>	+
-	j	+
-	</math>	+
-	&nbsp; el numero de columna.	+
-		+
-	El conjunto de matrices de dimension &nbsp;	+
-	<math>	+
-	m \times n	+
-	</math>	+
-	&nbsp; se denota por:	+
	<br/>		<br/>
Línea 84:		Línea 27:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	M_{m \times n}	+	\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 90:		Línea 33:
	<br/>		<br/>
-	El conjunto de matrices de dimension &nbsp;	+	donde &nbsp;
	<math>		<math>
-	n \times n	+	\mathbf{I}
	</math>		</math>
-	, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;	+	&nbsp; es la
		+	[[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden &nbsp;
	<math>		<math>
	n		n
	</math>		</math>
-	, &nbsp; se denota por:	+	.
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	==Existencia de la matriz inversa==
-	<math>	+
-	M_n	+
-	</math>	+
-	</center>	+
	<br/>		<br/>
-	Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:	+	Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO
-		+	tienen inversa, '''''singulares'''''.
-	* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;	+
-	<math>	+
-	a_{ii}	+
-	</math>	+
-	&nbsp;	+
-		+
-	*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;	+
-	<math>	+
-	a_{ij}	+
-	</math>	+
-	&nbsp; tales que &nbsp;	+
-	<math>	+
-	i + j = n + 1	+
-	</math>	+
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n.
-	<math>	+
-	\begin{array}[c]{cc}	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{cccc}	+
-	\mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14}	+
-	\\	+
-	a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24}	+
-	\\	+
-	a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34}	+
-	\\	+
-	a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}}	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	&	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{cccc}	+
-	a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}}	+
-	\\	+
-	a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24}	+
-	\\	+
-	a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34}	+
-	\\	+
-	\mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44}	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	\\	+
-	&	+
-	\\	+
-	\makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}	+
-	\end{array}	+
-	</math>	+
-	</center>	+
	<br/>		<br/>
-	Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas	+	Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero.
-	&nbsp;	+
-	<math>	+
-	\left(	+
-	m \neq n	+
-	\right)	+
-	</math>	+
-		+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	==Propiedades==
-	<math>	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	1 & -1 & ~~0	+
-	\\	+
-	2 & ~~3 & -1	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	</math>	+
-	</center>	+
	<br/>		<br/>
-	Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;	+	Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
-	<math>	+
-	1 \times n	+
-	</math>	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	1. &nbsp; Si existe,
-	<math>	+	&nbsp; <math>
-	\left(	+	\mathbf{A}^{-1}
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	-1 & 3 & 5	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
	</math>		</math>
-	</center>	+	&nbsp; es única.
	<br/>		<br/>
-	Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;	+	2. &nbsp;
	<math>		<math>
-	m \times 1	+	\left(
		+	\mathbf{A}^{-1}
		+	\right)
		+	^{-1} = \mathbf{A}
	</math>		</math>
-	&nbsp;
-	Ejemplo:
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	3. &nbsp;
	<math>		<math>
-	\left(	+	\left(
-	\begin{array}[c]{c}	+	\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
-	-1	+	\right)
-	\\	+	^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
-	~~3	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
	</math>		</math>
-	</center>
	<br/>		<br/>
-	Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por	+	4. El determinante de una matriz regular
-	&nbsp;	+
	<math>		<math>
-	0	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	.	+	es el inverso del determinante de su matriz inversa:
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
Línea 246:		Línea 109:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\left(	+	\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	0 & 0 & 0	+
-	\\	+
-	0 & 0 & 0	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 258:		Línea 115:
	<br/>		<br/>
-	Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos	+	==Cálculo de la matriz inversa==
-	situados por debajo de la diagonal principal son ceros.	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
-	<math>	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	1 & -1 & ~~0	+
-	\\	+
-	0 & ~~3 & -1	+
-	\\	+
-	0 & ~~0 & ~~2	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	</math>	+
-	</center>	+
	<br/>		<br/>
-	Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos	+	===Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales===
-	situados por encima de la diagonal principal son ceros	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	====Ejemplo====
-	<math>	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	2 & ~~0 & 0	+
-	\\	+
-	3 & -1 & 0	+
-	\\	+
-	1 & -1 & 3	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	</math>	+
-	</center>	+
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos	+
-	no situados en la diagonal principal son ceros.	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
Línea 310:		Línea 133:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\left(	+	\mathbf{A} =
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\left(
-	~~2 & ~~0 & ~~0	+	\begin{array}[c]{cc}
-	\\	+	1 & 2
-	~~0 & -1 & ~~0	+	\\
-	\\	+	3 & 7
-	~~0 & ~~0 & ~~3	+	\end{array}
-	\end{array}	+	\right)
-	\right)	+
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 324:		Línea 146:
	<br/>		<br/>
-	Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos	+	hacemos
-	de la diagonal principal son iguales.	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
Línea 332:		Línea 152:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\left(	+	\mathbf{A}^{-1} =
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\left(
-	2 & {0} & {0}	+	\begin{array}[c]{cc}
-	\\	+	a & b
-	{0} & 2 & {0}	+	\\
-	\\	+	c & d
-	{0} & {0} & 2	+	\end{array}
-	\end{array}	+	\right)
-	\right)	+
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 346:		Línea 165:
	<br/>		<br/>
-	Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos	+	como
-	&nbsp;	+
-	<math>	+
-	1	+
-	</math>	+
-	&nbsp; .	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
Línea 358:		Línea 171:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\left(	+	I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\left(
-	1 & {0} & {0}	+	\begin{array}[c]{cc}
-	\\	+	1 & 2
-	{0} & 1 & {0}	+	\\
-	\\	+	3 & 7
-	{0} & {0} & 1	+	\end{array}
-	\end{array}	+	\right)
-	\right)	+	\cdot
		+	\left(
		+	\begin{array}[c]{cc}
		+	a & b
		+	\\
		+	c & d
		+	\end{array}
		+	\right)
		+	=
		+	\left(
		+	\begin{array}[c]{cc}
		+	1 & 0
		+	\\
		+	0 & 1
		+	\end{array}
		+	\right)
	</math>		</math>
	</center>		</center>
-
-	%% }}}
-	%% {{{ =Operaciones elementales con matrices
-
-	Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y si los elementos que ocupan el
-	mismo lugar en ambas, son iguales.
-
-	Para dos matrices &nbsp;
-	<math>
-	A = \left( a_{ij} \right)
-	</math>
-	&nbsp; y &nbsp;
-	<math>
-	B = \left( b_{ij} \right)
-	</math>
-	&nbsp; de la misma dimension &nbsp;
-	<math>
-	m \times n
-	</math>
-	, &nbsp; la suma de &nbsp;
-	<math>
-	A
-	</math>
-	&nbsp; y &nbsp;
-	<math>
-	B
-	</math>
-	&nbsp; es la matriz de la misma dimension &nbsp;
-	<math>
-	m \times n
-	</math>
-	, &nbsp; dada por
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	Operando:
-	<math>	+
-	A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)	+
-	</math>	+
-	</center>	+
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
Línea 418:		Línea 206:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	A + B =
	\left(		\left(
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\begin{array}[c]{cc}
-	a_{11 }& a_{12} & a_{13}	+	a + 2c & b + 2d
-	\\	+	\\
-	a_{21 }& a_{22} & a_{23}	+	3a + 7c & 3b + 7d
-	\\	+	\end{array}
-	a_{31 }& a_{32} & a_{33}	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	+	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	b_{11 }& b_{12} & b_{13}	+
-	\\	+
-	b_{21 }& b_{22} & b_{23}	+
-	\\	+
-	b_{31 }& b_{32} & b_{33}	+
-	\end{array}	+
	\right)		\right)
	=		=
	\left(		\left(
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\begin{array}[c]{cc}
-	a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}	+	1 & 0
-	\\	+	\\
-	a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}	+	0 & 1
-	\\	+	\end{array}
-	a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}	+
-	\end{array}	+
	\right)		\right)
		+	\Leftrightarrow
		+	\left\{
		+	\begin{array}[c]{ccc}
		+	a + 2c & = & 1
		+	\\
		+	3a + 7c & = & 0
		+	\\
		+	b + 2d & = & 0
		+	\\
		+	3b + 7d & = & 1
		+	\\
		+	\end{array}
		+	\right.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
-
-	<br/>
-
-	Para un número real &nbsp;
-	<math>
-	k
-	</math>
-	&nbsp; y una matriz &nbsp;
-	<math>
-	A = \left( a_{ij} \right)}
-	</math>
-	&nbsp; de dimension &nbsp;
-	<math>
-	m \times n
-	</math>
-	, &nbsp; el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension
-	&nbsp;
-	<math>
-	m \times n
-	</math>
-	&nbsp; dada por
	<br/>		<br/>
Línea 476:		Línea 241:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)	+	\Rightarrow \left\{
		+	\begin{array}[c]{ccc}
		+	a & = & 7
		+	\\
		+	b & = & -2
		+	\\
		+	c & = & -3
		+	\\
		+	d & = & 1
		+	\\
		+	\end{array}
		+	\right.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 482:		Línea 258:
	<br/>		<br/>
-	Es decir, el producto &nbsp;	+	===Por el método de Gauss===
-	<math>	+
-	k \cdot A	+
-	</math>	+
-	&nbsp; se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la	+
-	matriz.	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	La inversa de una matriz regular &nbsp;
		+	<math>
		+	\mathbf{A}
		+	</math>
		+	&nbsp; se puede calcular transformando la matriz &nbsp;
	<math>		<math>
-	k \cdot A = k \cdot
	\left(		\left(
-	\begin{array}[c]{cc}	+	\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
-	a_{11 }& a_{12}	+
-	\\	+
-	a_{21 }& a_{22}	+
-	\\	+
-	a_{31 }& a_{32}	+
-	\end{array}	+
	\right)		\right)
-	=	+	</math>
		+	&nbsp; mediante operaciones elementales con las filas de la matriz &nbsp;
		+	<math>
	\left(		\left(
-	\begin{array}[c]{cc}	+	\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
-	k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12}	+
-	\\	+
-	k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22}	+
-	\\	+
-	k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32}	+
-	\end{array}	+
	\right)		\right)
	</math>		</math>
-	</center>
	<br/>		<br/>
-	El producto de dos matrices &nbsp;	+	====Operaciones elementales con las filas de una matriz====
-	<math>	+
-	A = \left( a_{ij} \right)	+
-	</math>	+
-	&nbsp; de dimension &nbsp;	+
-	<math>	+
-	m \times n	+
-	</math>	+
-	&nbsp; y &nbsp;	+
-	<math>	+
-	B = \left( b_{ij} \right)	+
-	</math>	+
-	&nbsp; de dimension &nbsp;	+
-	<math>	+
-	n \times p	+
-	</math>	+
-	, &nbsp; es la matriz &nbsp;	+
-	<math>	+
-	A \cdot B	+
-	</math>	+
-	&nbsp; dada por:	+
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en
-	<math>	+	el metodo de Gauss son las siguientes:
-	A \cdot B = \left( c_{ij} \right)	+
-	</math>	+
-	</center>	+
	<br/>		<br/>
-	con	+	1. Intercambiar las filas &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	<center>	+
	<math>		<math>
-	c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}	+	F_i
	</math>		</math>
-	</center>	+	&nbsp; y &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	Es decir, cada elemento &nbsp;	+
	<math>		<math>
-	c_{ik}	+	F_j
-	</math>	+	</math>.
-	&nbsp; se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna	+	&nbsp; Esta operación la representaremos así
-	k-ésima de la segunda matriz.	+
-	Ejemplo:	+
	<br/>		<br/>
Línea 575:		Línea 304:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\left(	+	F_i \longleftrightarrow F_j
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	1 & 2 & 3	+
-	\\	+
-	4 & 5 & 6	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	\cdot	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{cc}	+
-	~~7 & ~~8	+
-	\\	+
-	~~9 & ~~0	+
-	\\	+
-	-1 & -2	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	=	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{cc}	+
-	1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)	+
-	\\	+
-	4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 605:		Línea 310:
	<br/>		<br/>
-	*El producto de matrices cuadradas es asociativo:	+	2. Multiplicar la fila &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	<center>	+
	<math>		<math>
-	A \cdot	+	F_i
-	\left(	+
-	B \cdot C	+
-	\right)	+
-	=	+
-	\left(	+
-	A \cdot B	+
-	\right)	+
-	\cdot C	+
	</math>		</math>
-	</center>	+	&nbsp; por el número &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	*El producto de matrices cuadradas de orden &nbsp;	+
	<math>		<math>
-	n	+	s \neq 0
	</math>		</math>
-	&nbsp; posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad &nbsp;	+	&nbsp; y sustituir &nbsp;
	<math>		<math>
-	I	+	F_i
	</math>		</math>
-	&nbsp; de orden &nbsp;	+	&nbsp; por &nbsp;
	<math>		<math>
-	n	+	s \cdot F_i
-	</math>	+	</math>.
-	&nbsp; ya que:	+	&nbsp; Esta operación la representamos de la
		+	siguiente forma:
	<br/>		<br/>
Línea 643:		Línea 333:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	A \cdot I = I \cdot A = A	+	s \cdot F_i \longrightarrow F_i
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 649:		Línea 339:
	<br/>		<br/>
-	* El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:	+	3. Sumar las filas &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	<center>	+
	<math>		<math>
-	A \cdot	+	F_i
-	\left(	+
-	B + C	+
-	\right)	+
-	= A \cdot B + A \cdot C	+
	</math>		</math>
-	</center>	+	&nbsp; y &nbsp;
-		+
-	%% }}}	+
-	%% {{{ =Matriz transpuesta	+
-	Se llama matriz traspuesta de una matriz &nbsp;	+
	<math>		<math>
-	A	+	F_j
-	</math>	+	</math>,
-	&nbsp; de dimension &nbsp;	+	&nbsp; multiplicadas por sendos números,
	<math>		<math>
-	m \times n	+	s
	</math>		</math>
-	, &nbsp; a la matriz que se obtiene al cambiar en &nbsp;	+	y
	<math>		<math>
-	A	+	t
-	</math>	+	</math>,
-	&nbsp; las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por &nbsp;	+	y sustituir &nbsp;
	<math>		<math>
-	A^t	+	F_i
-	</math>	+
-	&nbsp; y su dimension es &nbsp;	+
-	<math>	+
-	n \times m	+
	</math>		</math>
		+	&nbsp; por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
	<br/>		<br/>
-	==Propiedades:==	+	<center>
		+	<math>
		+	s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i
		+	</math>
		+	</center>
	<br/>		<br/>
-	* <math>	+	Notese que el segundo tipo de operación, &nbsp;
-	\left( \, A^t \, \right)^t = A	+	<math>
-	</math>	+	s \cdot F_i \longrightarrow F_i
-		+	</math>,
-	* <math>	+	&nbsp;
-	\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t	+	es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando &nbsp;
-	</math>	+	<math>
-	&nbsp;	+	t = 0
-		+	</math>.
-	* <math>	+
-	\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t	+
-	</math>	+
-	&nbsp;	+
-		+
-	* <math>	+
-	\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t	+
-	</math>	+
-	&nbsp;	+
	<br/>		<br/>
-	----	+	===Mediante la matriz adjunta===
	<br/>		<br/>
-	Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;	+	La matriz inversa de una matriz regular &nbsp;
	<math>		<math>
-	A	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	&nbsp; que coincide con su transpuesta: &nbsp;	+	&nbsp; se puede calcular mediante la expresión:
-	<math>	+
-	A = A^t	+
-	</math>.	+
-	&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la	+
-	diagonal principal son iguales.	+
-		+
-	====Ejemplo:====	+
	<br/>		<br/>
	<center>		<center>
-	<math>	+	<math>
-	\left(	+	\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\left[
-	1 & 2 & 3	+	\makebox{Adj}
-	\\	+	\left(
-	2 & 4 & 5	+	\, \mathbf{A} \,
-	\\	+	\right)
-	3 & 5 & 7	+	\right]
-	\end{array}	+	^t
-	\right)	+	</math>
-	</math>	+	</center>
-	</center>	+
	<br/>		<br/>
-	Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;	+	donde &nbsp;
	<math>		<math>
-	A	+	\makebox{Adj}
		+	\left(
		+	\, \mathbf{A} \,
		+	\right)
	</math>		</math>
-	&nbsp; que coincide con la opuesta de su transpuesta: &nbsp;	+	&nbsp; es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de &nbsp;
	<math>		<math>
-	A = -A^t	+	\mathbf{A}
	</math>.		</math>.
-	&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
-	diagonal principal son opuestos.
-	====Ejemplo:====	+	<br/>
		+
		+	====Definición de matriz adjunta====
	<br/>		<br/>
-	<center>	+	La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada
		+	&nbsp;
	<math>		<math>
-	\left(	+	\mathbf{A}
-	\begin{array}[c]{ccc}	+
-	~~ 0 & ~~2 & -3	+
-	\\	+
-	-2 & ~~0 & ~~5	+
-	\\	+
-	~~ 3 & -5 & ~~0	+
-	\end{array}	+
-	\right)	+
	</math>		</math>
-	</center>	+	&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
-	%% }}}	+
-	%% {{{ =Matriz inversa	+
-		+
-	La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;	+
	<math>		<math>
-	A	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	&nbsp; de orden &nbsp;	+	&nbsp; y se denota por &nbsp;
	<math>		<math>
-	n,	+	\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
-	</math>	+	</math>.
-	&nbsp; es la matriz &nbsp;	+	&nbsp; El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de
	<math>		<math>
-	, A^{-1},	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	&nbsp; de orden &nbsp;	+	es &nbsp;
	<math>		<math>
-	n	+	A_{ij}
-	</math>	+	</math>,
-	&nbsp; que verifica:	+	&nbsp; el adjunto del elemento de
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	<center>	+
	<math>		<math>
-	A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	</center>	+	en su fila i-esima y columna j-esima
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices	+
-	singulares.	+
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:	+
-		+
-	1. &nbsp; Si existe,	+
-	&nbsp; <math>	+
-	A^{-1}	+
-	</math>	+
-	&nbsp; es única.	+
-		+
-	2. &nbsp;	+
	<math>		<math>
-	\left(	+	\left( \, a_{ij} \, \right)}
-	A^{-1}	+	</math>.
-	\right)	+
-	^{-1} = A	+
-	</math>	+
-		+
-	3. &nbsp;	+
-	<math>	+
-	\left(	+
-	A \cdot B	+
-	\right)	+
-	^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}	+
-	</math>	+
	<br/>		<br/>
-	==Calculo de la matriz inversa==	+	====Ejemplo====
	<br/>		<br/>
-	Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos	+	Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores
-	procedimientos:	+	complementarios]] de los elementos de la matriz
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	===Mediante la definicion===	+
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	====Ejemplo:====	+
	<br/>		<br/>
Línea 857:		Línea 471:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	A =	+	\mathbf{A} =
	\left(		\left(
-	\begin{array}[c]{cc}	+	\begin{array}{ccc}
-	1 & 2	+	1 & 2 & 3
	\\		\\
-	3 & 7	+	4 & 5 & 6
-	\end{array}	+
-	\right)	+
-	</math>	+
-	</center>	+
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	hacemos	+
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	<center>	+
-	<math>	+
-	A^{-1} =	+
-	\left(	+
-	\begin{array}[c]{cc}	+
-	a & b	+
	\\		\\
-	c & d	+	7 & 8 & 0
	\end{array}		\end{array}
	\right)		\right)
Línea 889:		Línea 486:
	<br/>		<br/>
-	como	+	son
	<br/>		<br/>
Línea 895:		Línea 492:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow	+	\begin{array}{ccc}
-	\left(	+	\alpha_{11} =
		+	\left|
	\begin{array}[c]{cc}		\begin{array}[c]{cc}
-	1 & 2	+	5 & 6
	\\		\\
-	3 & 7	+	8 & 0
	\end{array}		\end{array}
-	\right)	+	\right|
-	\cdot	+	&
-	\left(	+	\qquad \alpha_{12} =
		+	\left|
	\begin{array}[c]{cc}		\begin{array}[c]{cc}
-	a & b	+	4 & 6
	\\		\\
-	c & d	+	7 & 0
	\end{array}		\end{array}
-	\right)	+	\right|
-	=	+	&
-	\left(	+	\qquad \alpha_{13} =
		+	\left|
	\begin{array}[c]{cc}		\begin{array}[c]{cc}
-	1 & 0	+	4 & 5
	\\		\\
-	0 & 1	+	7 & 8
	\end{array}		\end{array}
-	\right)	+	\right|
		+	\end{array}
	</math>		</math>
	</center>		</center>
-
-	<br/>
-
-	Operando:
-
-	<br/>
-
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\left(	+	\begin{array}{ccc}
		+	\alpha_{21} =
		+	\left|
	\begin{array}[c]{cc}		\begin{array}[c]{cc}
-	a + 2c & b + 2d	+	2 & 3
	\\		\\
-	3a + 7c & 3b + 7d	+	8 & 0
	\end{array}		\end{array}
-	\right)	+	\right|
-	=	+	&
-	\left(	+	\qquad \alpha_{22} =
		+	\left|
	\begin{array}[c]{cc}		\begin{array}[c]{cc}
-	1 & 0	+	1 & 3
	\\		\\
-	0 & 1	+	7 & 0
	\end{array}		\end{array}
-	\right)	+	\right|
-	\Leftrightarrow	+	&
-	\left\{	+	\qquad \alpha_{23} =
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\left|
-	a + 2c & = & 1	+	\begin{array}[c]{cc}
-	\\	+	1 & 2
-	3a + 7c & = & 0	+
-	\\	+
-	b + 2d & = & 0	+
-	\\	+
-	3b + 7d & = & 1	+
	\\		\\
		+	7 & 8
	\end{array}		\end{array}
-	\right.	+	\right|
		+	\end{array}
	</math>		</math>
	</center>		</center>
-
-	<br/>
-
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\Rightarrow \left\{	+	\begin{array}{ccc}
-	\begin{array}[c]{ccc}	+	\alpha_{31} =
-	a & = & 7	+	\left|
		+	\begin{array}[c]{cc}
		+	2 & 3
	\\		\\
-	b & = & -2	+	5 & 6
		+	\end{array}
		+	\right|
		+	&
		+	\qquad \alpha_{32} =
		+	\left|
		+	\begin{array}[c]{cc}
		+	1 & 3
	\\		\\
-	c & = & -3	+	4 & 6
-	\\	+	\end{array}
-	d & = & 1	+	\right|
		+	&
		+	\qquad \alpha_{33} =
		+	\left|
		+	\begin{array}[c]{cc}
		+	1 & 2
	\\		\\
		+	4 & 5
	\end{array}		\end{array}
-	\right.	+	\right|
		+	\end{array}
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 982:		Línea 589:
	<br/>		<br/>
-	===Método de Gauss-Jordan===	+	Los adjuntos de los elementos de &nbsp;
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	La inversa de una matriz regular &nbsp;	+
	<math>		<math>
-	A	+	\mathbf{A}
-	</math>	+
-	&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;	+
-	<math>	+
-	\left(	+
-	\, A \, \left| \, I \, \right.	+
-	\right)	+
-	</math>	+
-	&nbsp; mediante operaciones elementales por filas en la matriz &nbsp;	+
-	<math>	+
-	\left(	+
-	\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.	+
-	\right)	+
	</math>		</math>
		+	&nbsp; son:
-	Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:	+	<br/>
-	1. Intercambiar las filas &nbsp;	+	<center>
	<math>		<math>
-	i	+	\begin{array}{ccccccccccc}
		+	A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
		+	\\
		+	A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
		+	\\
		+	A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
		+	&\end{array}
	</math>		</math>
-	&nbsp; y &nbsp;	+	</center>
-	<math>	+
-	j,	+
-	</math>	+
-	&nbsp; que designaremos por &nbsp;	+
-	<math>	+
-	F_i \longrightarrow F_j	+
-	</math>	+
-	&nbsp;	+
-	2. Multiplicar la fila &nbsp;	+	<br/>
-	<math>	+
-	i	+
-	</math>	+
-	&nbsp; por el numero &nbsp;	+
-	<math>	+
-	k \neq 0	+
-	</math>	+
-	&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;	+
-	<math>	+
-	F_i \to k \cdot F_i	+
-	</math>	+
-	3. Multiplicar la fila &nbsp;	+	La matriz adjunta de &nbsp;
	<math>		<math>
-	i	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	&nbsp; por el numero &nbsp;	+	&nbsp; es
-	<math>	+
-	k \neq 0	+
-	</math>	+
-	&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;	+
-	<math>	+
-	F_i \to k \cdot F_i	+
-	</math>	+
-		+
-	4. Sumar las filas &nbsp;	+
-	<math>	+
-	i	+
-	</math>	+
-	&nbsp; y &nbsp;	+
-	<math>	+
-	j,	+
-	</math>	+
-	&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;	+
-	<math>	+
-	i	+
-	</math>	+
-	&nbsp; o &nbsp;	+
-	<math>	+
-	j	+
-	</math>	+
-	&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;	+
-	<math>	+
-	F_i	+
-	</math>	+
-	&nbsp; o &nbsp;	+
-	<math>	+
-	F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j	+
-	</math>	+
-		+
-	%% }}}	+
-	%% {{{ =Rango de una matriz	+
-		+
-	En la matriz	+
	<br/>		<br/>
Línea 1.079:		Línea 621:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
		+	\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
	\left(		\left(
-	\begin{array}[c]{cccc}	+	\begin{array}{ccc}
-	a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}	+	-48 & ~42 & -3
-	\\	+	\\
-	a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}	+	~24 & -21 & ~6
-	\\	+	\\
-	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots	+	~-3 & ~~6 & -3
-	\\	+	\end{array}
-	a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}	+
-	\end{array}	+
	\right)		\right)
	</math>		</math>
Línea 1.095:		Línea 636:
	<br/>		<br/>
-	Se dice que las filas &nbsp;	+	El determinante de
-		+
-	<br/>	+
-		+
-	<center>	+
	<math>		<math>
-	F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	</center>	+	lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila:
	<br/>		<br/>
-		+
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	\left(	+	\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13}
-	\, F_i =	+	\cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \,
-	\left(	+	-3 \, \right) = 25
-	\, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \,	+
-	\right)	+
-	\right)	+
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Línea 1.120:		Línea 654:
	<br/>		<br/>
-	son dependientes si existen números &nbsp;	+	Por lo tanto, la matriz inversa de
	<math>		<math>
-	\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R	+	\mathbf{A}
	</math>		</math>
-	&nbsp; tales que	+	es
-		+
-	<br/>	+
-		+
	<center>		<center>
	<math>		<math>
-	F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t	+	\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
		+	\left[
		+	\makebox{Adj}
		+	\left(
		+	\, \mathbf{A} \,
		+	\right)
		+	\right]
		+	^t =
		+	\frac{1}{25} \cdot
		+	\left(
		+	\begin{array}{ccc}
		+	-48 & ~24 & -3
		+	\\
		+	~42 & -21 & ~6
		+	\\
		+	~-3 & ~~6 & -3
		+	\end{array}
		+	\right)
	</math>		</math>
	</center>		</center>
-	<br/>	+	==Ejercicios resueltos==
-	En caso contrario, se dice que las filas &nbsp;	+	{{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_4_1_2_S_producto_e_invertibilidad_de_matrices.html Producto e invertibilidad de matrices]
-	<math>	+
-	F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t	+
-	</math>	+
-	&nbsp; son linealmente independientes.	+
-	El '''rango''' de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes	+	[[Category:Matemáticas]]
-	que tiene esa matriz.	+

---

Revisión actual

Tabla de contenidos 1 Definición 2 Existencia de la matriz inversa 3 Propiedades 4 Cálculo de la matriz inversa 4.1 Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales 4.1.1 Ejemplo 4.2 Por el método de Gauss 4.2.1 Operaciones elementales con las filas de una matriz 4.3 Mediante la matriz adjunta 4.3.1 Definición de matriz adjunta 4.3.2 Ejemplo 5 Ejercicios resueltos

Definición

La matriz inversa de una matriz cuadrada     de orden     es la matriz cuadrada     tambien de orden     que verifica:

donde     es la matriz identidad de orden   .

Existencia de la matriz inversa

Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.

Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.

Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.

Propiedades

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:

1.   Si existe,     es única.

2.  

3.  

4. El determinante de una matriz regular es el inverso del determinante de su matriz inversa:

Cálculo de la matriz inversa

La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo

hacemos

como

Operando:

Por el método de Gauss

La inversa de una matriz regular     se puede calcular transformando la matriz     mediante operaciones elementales con las filas de la matriz  

Operaciones elementales con las filas de una matriz

Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:

1. Intercambiar las filas     y   .   Esta operación la representaremos así

2. Multiplicar la fila     por el número     y sustituir     por   .   Esta operación la representamos de la siguiente forma:

3. Sumar las filas     y   ,   multiplicadas por sendos números, y , y sustituir     por el resultado de esta suma. Lo representamos así:

Notese que el segundo tipo de operación,   ,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   .

Mediante la matriz adjunta

La matriz inversa de una matriz regular     se puede calcular mediante la expresión:

donde     es la matriz adjunta de   .

Definición de matriz adjunta

La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada     se llama matriz adjunta de     y se denota por   .   El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de es   ,   el adjunto del elemento de en su fila i-esima y columna j-esima .

Ejemplo

Los menores complementarios de los elementos de la matriz

son

Los adjuntos de los elementos de     son:

La matriz adjunta de     es

El determinante de lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:

Por lo tanto, la matriz inversa de es

Ejercicios resueltos

• Producto e invertibilidad de matrices

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