Problemas de ángulos
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Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas
y
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar
y
en un mismo plano paralelo a ambas rectas.
Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general,
no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser
coplanarias ).
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo,
,
y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de
,
.
El ángulo entre dos rectas
y
cuyos vectores directores son, respectivamente,
y
,
se puede calcular con la siguiente fórmula:
Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
obtiene el ángulo que forman las retas
y
.
En la fórmula anterior
denota el producto escalar de los vectores
y
.
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
y
La recta
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano
de ecuación
y el plano
de ecuación
).
Un vector director
de la recta
es el vector que multiplica al parametro
en su ecuación, es decir:
Podemos obtener un vector director
de la recta
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
por un vector perpendicular al plano
.
Un vector
perpendicular al plano
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
:
De la misma forma obtenemos un vector
perpendicular al plano
:
El producto vectorial de ambos vectores,
y
es
El ángulo que forman las rectas
y
es, por tanto
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Sus vectores normales son, respectivamente:
y
Por lo tanto, el ángulo que forman ambos planos es
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Ángulo entre una recta y un plano
El ángulo
que forma una recta
cuyo vector director es
y un plano
cuyo ángulo normal es
es complementario al ángulo que forman
y
.
Por lo tanto, se tiene que
Ejemplo
Calculemos el ángulo
entre el plano
de ecuació:
y la recta
de ecuación:
Un vector director de
es
y un vector normal de
es
,
por lo tanto:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]