Radiación del Cuerpo Negro. Hipótesis de Planck

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 12:17 24 nov 2008

Tabla de contenidos

1 Radiación del Cuerpo Negro. Hipótesis de Planck

Radiación del Cuerpo Negro. Hipótesis de Planck

Antecedentes históricos

Es bien conocida la anécdota de que a finales del siglo XIX un destacado físico de la época William Thomson (1824-1907) conocido como Lord Kelvin, se atrevió a decir que solo dos pequeñas “nubecillas” arrojaban sombras sobre el majestuoso panorama de conocimiento que había construido la física clásica desde Galileo y Newton hasta ese momento: el resultado del experimento de Michelson-Morley, el cual había fallado en detectar la existencia del supuesto éter luminífero; y la radiación del cuerpo negro, i.e la incapacidad de la teoría electromagnética clásica de predecir la distribución de la energía radiante emitida a diferentes frecuencias emitidas por un radiador idealizado llamado cuerpo negro. Lo que Lord Kelvin no puedo predecir es que al tratar de disipar esas dos “nubecillas”, la física se vería irremediablemente arrastrada a una nueva física: la física moderna fundada sobre dos revoluciones en ciernes: la revolución relativista y la revolución cuántica con un científico protagonista en ambas: Albert Einstein.

Radiación del Cuerpo Negro

El primer atisbo del nuevo mundo cuántico se inicia en el transito de los siglos XIX y XX con el estudio de la emisión de radiación de cuerpo calientes. Así, la primera evidencia de la naturaleza cuántica (i.e discreta) de la radiación vino del estudio de la radiación térmica emitida por cuerpos opacos (aquellos que no son transparentes). Cuando la radiación lumínica incide sobre un cuerpo opaco, parte es reflejada, y el resto es absorbida. Los cuerpos que aparecen coloreados a la luz reflejan la mayoría de la radiación que incide sobre ellos, mientras que los cuerpos oscuros absorben la mayoría de ella. La radiación absorbida por un cuerpo incrementa la energía cinética de los átomos que constituyen el cuerpo, los cuales oscilan sobre sus posiciones de equilibrio. Dado que la energía de traslación promedio de los átomos determina la temperatura del cuerpo, la energía absorbida causa que la temperatura se incremente. No obstante, los átomos contienen cargas (electrones) y estos son acelerados por las oscilaciones. Consecuentemente como requiere la teoría electromagnética clásica los átomos emiten radiación electromagnética, la cual reduce la energía cinética de las oscilaciones y tiende a reducir la temperatura. Cuando la tasa de absorción iguala a la de emisión, la temperatura es constante y se dice que el cuerpo está en equilibrio térmico con su ambiente. Un buen absorbente de radiación es también un buen emisor, y a la inversa (Ley de Kirchhoff) es ta es una de las razones por las que las paredes de los termos se se construyen espejadas.

La radiación electromagnética emitida bajo estas circunstancias es llamada radiación térmica.Las superficie de un cuerpo material mantenido a una temperatura elevada emite luz de todas las frecuencias o longitudes de onda. Por lo tanto la radiación térmica es la radiación electromagnética emitida por un cuerpo en virtud de su temperatura. Dicha radiación presenta una distribución espectral (la emisión según las distintas frecuencias o longitudes de onda), cuya forma concreta depende depende de la temperatura establecida. A temperaturas ordinarias por debajo de 600ºC, la radiación térmica emitida por un cuerpo (e.g. una barra de hierro) de la energía emitida se concentra en longitudes de onda más largas que la de luz visible (en la zona infrarroja del espectro electromagnético), y los cuerpos son visibles por la luz que reflejan. Cuando el cuerpo es calentado, la cantidad de radiación térmica emitida se incrementa y la energía radiada se extiende a longitudes de onda cada vez más cortas, a una temperatura de aproximadamente 600-700 ºC, hay suficiente energía para ser emitida en el espectro visible por lo que el cuerpo empieza a resplandecer y aparece como un brillo rojo oscuro a temperaturas más altas (1200ºC) aparece como blanco azulado brillante, por encima de esa temperatura se emite ya radiación ultravioleta (UV) además de la visible e infrarroja.

El rango pues de longitudes de onda de la radiación térmica se sitúa entre las 0.1 μm y los 100μm, de este modo se extiende desde el ultravioleta hasta el infrarrojo, incluyendo por tanto la parte del visible del espectro electromagnético. Así. A temperaturas suficientemente altas, los cuerpos emiten radiación en la región del visible, y se hacen luminosos por si mismos mientras que, a bajas temperaturas, son visibles al ojo por la luz que reflejan y no por la emitida (que puede ser detectada con una cámara apropiada que es sensible a la radiación infrarroja).

Una superficie o cuerpo que absorbe toda la radiación que incide sobre ella se llama superficie de cuerpo negro ideal. Como este cuerpo no refleja nada, aparecerá negro a nuestros ojos. Un cuerpo negro también será un emisor ideal, y así la luz emitida por un cuerpo negro se llama radiación de cuerpo negro. Un cuerpo negro es por lo tanto una idealización, pues no existe ningún cuerpo real que cumpla las condiciones citadas. No obstante, en la naturaleza podemos encontrar cuerpos que se comportan aproximadamente como un cuerpo negro, un ejemplo de este tipo lo constituye un objeto que tiene una cavidad con paredes impermeables al calor lo más rugosas y ennegrecidas posibles que se comunica con el exterior con un pequeño orificio, es decir, un orificio que es pequeño comparado con las dimensiones finales de la cavidad. La radiación que, procedente del exterior, incida sobre dicho orificio penetrará en la cavidad, siendo absorbida por las paredes de ésta tras sucesivas reflexiones internas, si el tamaño del agujero es mucho más pequeño que el área total de dichas paredes, la probabilidad de que esta radiación vuelva a salir al exterior puede considerarse despreciable. El orificio se comporta como un absorbente perfecto De otra forma la radiación térmica emergente hacia el exterior procedente de dicho agujero será espectralmente idéntica a la de un cuerpo negro a una determinada temperatura T, el agujero está pues absorbiendo toda la energía que le llega y por otra emitiendo la radiación correspondiente al equilibrio a la misma temperatura, el agujero puede ser considerado un cuerpo negro.

Para entender el concepto de cuerpo negro podemos pensar en una caja de cartón pintada en su interior de negro en la que se ha practicado un pequeño orificio en una de sus caras, visto desde fuera, el orificio resulta considerablemente “más negro” que cualquier superficie “negra” material.

En una medición de cuantitativa de la radiación de un cuerpo negro tenemos un recinto cerrado u “horno”, construido con un material adecuado, con un pequeño orificio en la pared . Se dirigen los instrumentos hacia el orificio y de esta manera medimos la energía radiante que emerge del interior del recinto. Llamada por ello también radiación de una cavidad. A partir de consideraciones termodinámicas muy generales el físico alemán Gustav R. Kirchhoff (1824-1887) quien en 1862 había introducido en la Física el concepto de cuerpo negro demostró que, para cualquier longitud de onda, la razón de la intensidad de emisión por una superficie arbitraria a la intensidad de emisión de una superficie de un cuerpo negro es igual al coeficiente de absorción del material para el valor de longitud de onda en cuestión. La superficie de cuerpo negro es, por lo tanto, un emisor patrón adecuado y se pueden limitar todas las consideraciones de la radiación térmica a la radiación que procede del orificio de una cavidad.

Ley de Stefan-Boltzmann

Así, en vez de estudiar la radiación procedente de una superficie material, cabe observar la radiación que procede de un pequeño orificio en la pared de una superficie material cerrada mantenida a una temperatura fija. En estas mediada experimentales se halló los siguientes hechos empíricos :

En 1879 el físico esloveno-austriaco Josef Stefan (1835-1893) encontró una relación empírica entre la potencia radiada por un cuerpo negro por unidad de área, llamada emitancia o poder emisivo R, dada en vatios por metro cuadrado ( $W/m^2$ ) y la temperatura absoluta:

R=σT^4 [1]

donde T es la temperatura absoluta en grados Kelvin, y σ = 5.6703 x 10^-8 W/m^2K^4 (en unidades de Sistema Internacional: W, vatios; m metros, K, grados Kelvin) es una constante llamada de constante de Stefan-Bolztmann. Este resultado fue también derivado a través de consideraciones teóricas con base en la termodinámica clásica por un alumno de Stefan, el físico austriaco Ludwing Boltzmann (1844- 1906) cinco años más tarde en 1884, por lo que la ecuación [1] es llamada ley de Stefan-Boltzmann. Esta ecuación nos indica que la cantidad total de energía radiada (la emitancia total o poder emisivo total) por un cuerpo negro en equilibrio térmico aumenta con la cuarta potencia de su temperatura absoluta.

Los objetos que no son cuerpos negros radian energía por unidad de área a una tasa menor que la del cuerpo negro a la misma temperatura. Esa tasa dependen en otras propiedades además de la temperatura, tales como el color y la composición de la superficie. El efecto de estas dependencias es combinado en en un facto llamado emisividad ε el cual debe ser incluido como factor multiplicador en la ecuación [1]. El valor de ε es también dependiente de la temperatura y siempre es menor que la unidad.

La distribución espectral de la radiación emitida por un cuerpo negro se encuentra que es empíricamente dependiente de la temperatura absoluta, mientras que la forma de la curva de emisión es independiente de la forma de la cavidad, como también, de la naturaleza del material de las paredes.

Al igual que el poder radiado total R, la distribución espectral de la radiación emitida por un cuerpo negro se encuentra empíricamente que depende de la temperatura absoluta T. Si se representa para una determinada temperatura gráficamente el poder emitido por unidad de área R, en función de longitud de onda (λ) la llamada función de distribución espectral R(λ ,T) (la notación matemática expresa que la función R depende de las dos variables, λ y T), se obtiene un curva acampanada lisa que tiende a cero tanto para longitudes de onda muy larga, como para longitudes de onda muy corta, en general la curva presenta un máximo para cierta longitud de onda λ^max que depende de la temperatura absoluta de manera muy simple:

λmaxT = Constante [Co]=2.898x10^-3 m K [2]

Este resultado expresa la ley de desplazamiento de Wien. Obtenida por físico alemán Wilhelm Wien (1864-1928). Desplazamiento en referencia al desplazamiento hacia longitudes de onda más corta que sufre el máximo de la curva conforme se incrementa la temperatura. Así, la longitud en la cual la distribución es máxima varia inversamente con la temperatura. La constante Co es una constante universal que describe una propiedad de las cavidades o superficies radiantes en general. La cantidad total de radiación emitida es más o menos la misma para todas las superficies materiales. El poder radiado fuera del agujero R es proporcional a la densidad total de energía ρ (energía por unidad de volumen de la radiación en la cavidad del cuerpo negro ideal). Se puede demostrar que la constante de proporcionalidad es igual $c/4$ donde $c$ es la velocidad de la luz. R=1/4cρ [3] De igual manera la distribución espectral del poder emitido por el agujero es proporcional a la distribución espectral de la densidad de energía en la cavidad. Si ρ(λ,T)dλ es la energía por unidad de volumen en la cavidad en el rango dλ, entonces ρ(λ,T) y R(λ,T) están relacionados por

R(λ,T)=1/4cρ(λ,T) [4]

Esta relación se cumple para para cualquier cuerpo negro en equilibrio térmico. La función de distribución de densidad de energía ρ(λ,T) en el interior de la cavidad es completamente independiente de las propiedades y formas de los cuerpos puede que forma la pared del recinto del cuerpo negro. Por ello el espectro de radiación térmica emitido por un cuerpo negro en equilibrio térmico posee características universales. Una universalidad que cumple con el segundo principio de la termodinámica. Las funciones son por tanto funciones universales dependientes únicamente de la longitud de onda (o de la frecuencia ) y de la temperatura absoluta ρ(λ,T) y R(λ,T) La función ρ(λ,T) puede ser calculada a partir de la física clásica de manera sencilla. El método requiere encontrar el número de modos de oscilación del campo electromagnético en la cavidad con la longitud de onda en la cavidad en el intervalo dλ y multiplicando la energía promedio por nodo. El resultado es que el número de modos de oscilación por unidad de volumen n(λ) es independiente de la forma de la cavidad elegida y es dado por n(λ)=8π/λ^4 [5]. De acuerdo con la teoría cinética clásica la energía promedio por modo de oscilación es kT, la misma que para un oscilador armónico en una dimensión, k es la constante de Boltzmann [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].