Teorema de Bayes
De Wikillerato
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==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
- | + | {{teorema|1=Sean | |
- | + | ||
- | Sean | + | |
<math> | <math> | ||
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, | A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, | ||
Línea 19: | Línea 17: | ||
\, B \, \left| \, A_i \, \right. | \, B \, \left| \, A_i \, \right. | ||
\right) | \right) | ||
- | </math> | + | </math> Entonces las probabilidades |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | Entonces las probabilidades | + | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
Línea 59: | Línea 52: | ||
\cdot \mathrm{P} | \cdot \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
- | \, B \, \left| \, A_1 \, \right | + | \, B \, \left| \, A_1 \, \right. |
\right) | \right) | ||
\, + \, | \, + \, | ||
Línea 68: | Línea 61: | ||
\cdot \mathrm{P} | \cdot \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
- | \, B \, \left| \, A_2 \, \right) | + | \, B \, \left| \, A_2 \, \right. |
+ | \right) | ||
\, + \, \ldots \, + \, | \, + \, \ldots \, + \, | ||
\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
Línea 76: | Línea 70: | ||
\cdot \mathrm{P} | \cdot \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
- | \, B \, \left| \, A_n \, \right | + | \, B \, \left| \, A_n \, \right. |
\right) | \right) | ||
} | } | ||
</math> | </math> | ||
- | </center> | + | </center>|2=[[Bayes]]}} |
+ | |||
- | |||
==Demostración== | ==Demostración== | ||
Línea 124: | Línea 118: | ||
\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
- | \, A_i \, \ | + | \, A_i \, \left| \, B \, \right. |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
Línea 135: | Línea 129: | ||
\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
- | \, A_i \, \ | + | \, A_i \, \left| \, B \, \right. |
\right) | \right) | ||
\, = \, \frac | \, = \, \frac | ||
Línea 188: | Línea 182: | ||
\left( | \left( | ||
\, B \, \left| \, A_2 \, \right. | \, B \, \left| \, A_2 \, \right. | ||
+ | \right) | ||
\, + \, \ldots \, + \, | \, + \, \ldots \, + \, | ||
\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
Línea 210: | Línea 205: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | Tenemos tres | + | Tenemos tres urnas: |
<math> | <math> | ||
U_1 | U_1 | ||
</math> | </math> | ||
- | con tres bolas rojas y | + | con tres bolas rojas y cinco negras, |
<math> | <math> | ||
U_2 | U_2 | ||
Línea 253: | Línea 248: | ||
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. | \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. | ||
\right) | \right) | ||
+ | \, = \, | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
\, = \, \frac | \, = \, \frac | ||
{ | { | ||
Línea 292: | Línea 295: | ||
\right) | \right) | ||
} | } | ||
- | \, = \, | + | } |
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \, = \, \frac | ||
+ | { | ||
+ | \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} | ||
+ | } | ||
+ | { | ||
+ | \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \, | ||
+ | \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} | ||
+ | } | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 298: | Línea 316: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | [[Category:Matemáticas]] | + | [[Category: Matemáticas]] |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Enunciado
|
Demostración
Por definición de probabilidad condicionada
despejando
, se tiene:
La probabilidad
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
Ejemplo
Tenemos tres urnas:
con tres bolas rojas y cinco negras,
con dos bolas rojas y una negra y
con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una
bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
?
Llamamos
al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
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