Propiedades de la integral definida

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1 Propiedades

Propiedades

La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

$\int_a^b \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \, \mathrm{g} \left( \, x \, \right) </pre> \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \, \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

La integral del producto de un número real      por una función es igual al producto de      por la integral de dicha función:

$\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, <pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, <pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

Si hacemos $a = b$ en la igualdad anterior se tiene que

$ <pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, - \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

$\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0$

para cualquier número real $a$ .

Dados tres números reales cualesquiera, $a, \, b, \, c$ se tiene que:

$\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Si en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ la función $\mathrm{f}$ es mayor o igual que la función $\mathrm{g}$ entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

En particular, si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0$

Analogamente, si $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Si en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ la función $\mathrm{f}$ es mayor que la función $\mathrm{g}$ entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

En particular, si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0$

Analogamente, si $0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 1

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + \int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 2

$\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 15 \cdot \int_1^- \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 3

$\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0$

Ejemplo 4

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = -\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 5

Como $x > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)$ , se cumple que

$\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 6

Como $x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)$ , se cumple que

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0$

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Categoría: Matemáticas

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