Áreas de triángulos y tetraedros

De Wikillerato

Área de un triángulo del que se conocen los vértices

El área de un paralelogramo determinado por dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$

es el módulo de su producto vectorial:

$\text{Area del paralelogramo} = \left| \, \mathbf{u} \times \mathbf{v} \, \right|$

El área de un triángulo de vertices A, B y C

es la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores $\Vec{AB}$ y $\vec{AC}$ :

$\text{Area del triÃ¡ngulo } \overset{\triangle}{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \vec{AC} \, \right|$

Volumen de un tetraedro del que se conocen los vértices

El volumen del paralepípedo determinado por tres vectores $\mathbf{u}$ . $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ es el valor absoluto del producto mixto de esos vectores:

$\left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times </p> <pre> \mathbf{w} \, \right) \right| </pre> <p>$

El volumen de un tetraedro determinado por $\mathbf{u}$ . $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ es un sexto del volumen del paralelogramo que determinan:

$\frac{1}{6} \cdot \left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times </p> <pre> \mathbf{w} \, \right) \right| </pre> <p>$

En caso de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos utilizar la formula anterior para calcular su volumen reemplazando $\mathbf{u}$ por $\Vec{AB}$ , $\mathbf{v}$ por $\vec{AC}$ , y $\mathbf{w}$ por $\vec{AD}$ .